Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto
, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências centrada em
da equação
e o intervalo de validade. O método é supor
e determinar uma relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Calculemos as derivadas em série:
Passo 3
Substituindo em
e agrupando os termos em potências
obtemos duas somas:
Deslocando índices para escrever tudo em
, chega-se à condição geral, para
:
No caso
essa fórmula dá
, logo
Passo 4
Reescrevendo com
em forma padrão, para todo
:
Isso liga cada coeficiente
a
. Como
, só temos três constantes livres
, compatível com equação de 3º ordem.
Passo 5
Daí surgem três séries independentes:
1. Tomando ,
gera
1. Tomando
2. com
,
3. com
,
A solução geral é
Passo 6
O raio de convergência é limitado pela singularidade mais próxima, dada por
, ou seja
. Portanto a série converge para
Resposta
válida para
.