Use o método dos coeficientes a determinar para exprimir a soluçlo geral de cada uma das equaçöes seguintes como uma série de potâneias em torno do ponto x=0, e especifique o intervalo em que a soluçào è valida.
(x^4-4) y^prime prime prime-36 x^2 y^prime-48 x y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências centrada em x=0 da equação
l(x^4-4r)y'''-36x^2y'-48xy=0
e o intervalo de validade. O método é supor
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinar uma relação de recorrência entre os an.

Passo 2

Calculemos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2, y'''(x)=sumn=3^inftyn(n-1)(n-2)anx^n-3

Passo 3

Substituindo em l(x^4-4r)y'''-36x^2y'-48xy=0 e agrupando os termos em potências x^k obtemos duas somas:
sumn=0^inftyl[n(n-1)(n-2)-36n-48r]an,x^n+1 ;-; 4sumn=0^inftyn(n-1)(n-2)an,x^n-3=0
Deslocando índices para escrever tudo em x^k, chega-se à condição geral, para k>=0:
l[(k-1)(k-2)(k-3)-36(k-1)-48r]ak-1 ;-; 4(k+3)(k+2)(k+1),ak+3 =0
No caso k=0 essa fórmula dá -24,a3=0, logo
a3=0

Passo 4

Reescrevendo com n=k-1 em forma padrão, para todo n>=0:
an+4 = n^3-3n^2-34n-484,(n+4)(n+3)(n+2);an
Isso liga cada coeficiente an+4 a an. Como a3=0, só temos três constantes livres a0,a1,a2, compatível com equação de 3º ordem.

Passo 5

Daí surgem três séries independentes:
1. Tomando a0=1, a1=a2=0 gera
y1(x)=1-tfrac12x^4+tfrac116x^8+cdots,
2. com a1=1, a0=a2=0
y2(x)=x-tfrac720x^5+cdots,
3. com a2=1, a0=a1=0
y3(x)=x^2-tfrac14x^6+cdots
A solução geral é
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)

Passo 6

O raio de convergência é limitado pela singularidade mais próxima, dada por x^4-4=0, ou seja x=pmraiz2. Portanto a série converge para
|x|<raiz2

Resposta

y(x)=C1l(1-tfrac12x^4+tfrac116x^8+cdotsr) +,C2l(x-tfrac720x^5+cdotsr) +,C3l(x^2-tfrac14x^6+cdotsr),
válida para |x|<raiz2.

Exercícios relacionados