Encontre a expressão que define a função f, cujo o gráfico contém o ponto (e, 0) e cuja a derivada é f^prime(x)=ln (ln (x))x.

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(x)=ln(ln(x))x
e pede a função f de modo que seu gráfico passe por (e,0). Para isso vamos usar integração indefinida com condição inicial.

Passo 2

Fazemos a substituição u=ln(x). Então du=dxx e
integral ln(ln(x))x,dx = integral ln(u),du

Passo 3

Para calcular integral ln(u),du usamos integração por partes. Tome
w=ln(u) e dv=du, logo dw=1udu e v=u. Então
integral ln(u),du = uln(u)-integral ucdot1u,du = uln(u)-integral 1,du = uln(u)-u + C

Passo 4

Voltando a x, temos
f(x)=ln(x),ln(ln(x))-ln(x)+C

Passo 5

Usamos a condição f(e)=0. Como ln(e)=1 e ln(ln(e))=ln(1)=0,
f(e)=1cdot0-1 + C = -1 + C = 0 Longrightarrow C=1

Resposta

f(x)=ln(x),ln(ln(x))-ln(x)+1

Exercícios relacionados