Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o conjunto solução da desigualdade
e que mostremos esse conjunto na reta numérica real.
Informações dadas:
é uma desigualdade linear em
. Precisamos isolar
e depois representar o conjunto solução (por exemplo em forma de intervalo) e desenhar/indicar isso na reta numérica.
Passo 2
Conceitos/leis que vamos usar (explicadinhos):
- Se você soma ou subtrai o mesmo número em ambos os lados de uma desigualdade, a desigualdade permanece com o mesmo sinal. Ex.: se
, então . - Se você multiplica ou divide ambos os lados por um número positivo, a desigualdade também mantém o mesmo sentido. Ex.: se
e , então . - Se você multiplica ou divide por um número negativo, aí o sinal da desigualdade se inverte. Ex.: se
e , então .
No nosso caso a fração
é positiva, então dividir por ela (ou multiplicar por
) não inverte o sinal.
Passo 3
Primeiro passo algébrico: eliminar o
somando
aos dois lados. Isso é permitido sem mudar o sinal:
Simplificando:
Passo 4
Agora queremos
sozinho. Temos multiplicado por
, então dividimos ambos os lados por
— o mesmo que multiplicar por seu inverso
. Como
, o sentido da desigualdade não muda:
Calculemos
. Uma forma fácil é primeiro dividir
por
e depois multiplicar por
:
Logo obtemos
Passo 5
Interpretação do resultado:
- A solução é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a
. - Em notação de intervalo isso é
, onde o colchete em indica que está incluído.
Verificações rápidas (para ter confiança): - Se
: , e é verdadeiro. - Se
: , e é verdadeiro. - Se
: , e é falso — logo não pertence à solução. Tudo consistente.
Passo 6
Representação na reta numérica (desenho em ASCII). O ponto cheio em
indica que o
está incluído; a seta para a esquerda mostra que todos os números menores pertencem à solução.
…-----|-----|-----|-----|-----|-----|–>
●====================>
(todos os )
●====================>
(todos os