Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
\frac{2}{3} x-6 \leq 2

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o conjunto solução da desigualdade
\frac{2}{3}x - 6 \leq 2
e que mostremos esse conjunto na reta numérica real.
Informações dadas:
\frac{2}{3}x - 6 \leq 2
é uma desigualdade linear em x. Precisamos isolar x e depois representar o conjunto solução (por exemplo em forma de intervalo) e desenhar/indicar isso na reta numérica.

Passo 2

Conceitos/leis que vamos usar (explicadinhos):
  • Se você soma ou subtrai o mesmo número em ambos os lados de uma desigualdade, a desigualdade permanece com o mesmo sinal. Ex.: se a \le b, então a+3 \le b+3.
  • Se você multiplica ou divide ambos os lados por um número positivo, a desigualdade também mantém o mesmo sentido. Ex.: se a \le b e c>0, então ac \le bc.
  • Se você multiplica ou divide por um número negativo, aí o sinal da desigualdade se inverte. Ex.: se a \le b e c<0, então ac \ge bc.
No nosso caso a fração \tfrac{2}{3} é positiva, então dividir por ela (ou multiplicar por \tfrac{3}{2}) não inverte o sinal.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: eliminar o -6 somando 6 aos dois lados. Isso é permitido sem mudar o sinal:
\frac{2}{3}x - 6 \leq 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3}x - 6 + 6 \leq 2 + 6.
Simplificando:
\frac{2}{3}x \leq 8.

Passo 4

Agora queremos x sozinho. Temos multiplicado por \tfrac{2}{3}, então dividimos ambos os lados por \tfrac{2}{3} — o mesmo que multiplicar por seu inverso \tfrac{3}{2}. Como \tfrac{2}{3}>0, o sentido da desigualdade não muda:
x \leq 8 \cdot \frac{3}{2}.
Calculemos 8\cdot\frac{3}{2}. Uma forma fácil é primeiro dividir 8 por 2 e depois multiplicar por 3:
8\cdot\frac{3}{2} = \left(\frac{8}{2}\right)\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12.
Logo obtemos
x \leq 12.

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • A solução é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 12.
  • Em notação de intervalo isso é (-\infty,\,12], onde o colchete em 12 indica que 12 está incluído.
    Verificações rápidas (para ter confiança):
  • Se x=12: \frac{2}{3}\cdot 12 - 6 = 8 - 6 = 2, e 2 \le 2 é verdadeiro.
  • Se x=0: \frac{2}{3}\cdot 0 - 6 = -6, e -6 \le 2 é verdadeiro.
  • Se x=13: \frac{2}{3}\cdot 13 - 6 \approx 8{,}666 - 6 = 2{,}666, e 2{,}666 \le 2 é falso — logo 13 não pertence à solução. Tudo consistente.

Passo 6

Representação na reta numérica (desenho em ASCII). O ponto cheio em \,12 indica que o 12 está incluído; a seta para a esquerda mostra que todos os números menores pertencem à solução.
…-----|-----|-----|-----|-----|-----|–>
\,0 \,4 \,8 \,12
●====================>
(todos os x\leq 12)

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq 12\} = (-\infty,\,12]

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