Construa o gráfico das funções a seguir:
f(x)=\left|x^{2}+4 x-5\right|

Passo 1

O que o enunciado pede: construir (esboçar) o gráfico da função \displaystyle f(x)=\left|x^{2}+4x-5\right|.\n
Informações fornecidas que vamos usar:
\displaystyle f(x)=\left|x^{2}+4x-5\right| para todo x\in\mathbb{R}.
A expressão dentro do valor absoluto é o polinômio quadrático \displaystyle p(x)=x^{2}+4x-5.
Não há outras restrições. Neste passo só organizei o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Encontrar as raízes de \displaystyle p(x)=x^{2}+4x-5 (pontos onde a parábola cruza o eixo x): resolvemos \displaystyle x^{2}+4x-5=0.\n
Usamos a fórmula quadrática:
x=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}.
Logo,
x=\frac{-4\pm6}{2}.
Isso dá as raízes \displaystyle x=-5 e \displaystyle x=1. Essas são as interseções com o eixo x do polinômio interno e também serão zeros de f (pois valor absoluto de zero é zero).

Passo 3

Encontrar o vértice da parábola \displaystyle p(x)=x^{2}+4x-5. A abscissa do vértice de uma parábola ax^{2}+bx+c é \displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}. Aqui a=1 e b=4, então
x_v=-\frac{4}{2\cdot1}=-2.
O valor de p no vértice é
p(-2)=(-2)^{2}+4(-2)-5=4-8-5=-9.
Portanto o vértice da parábola interna é (-2,-9). Como esse valor é negativo, quando aplicarmos o valor absoluto ele será refletido para cima: o gráfico de f terá, correspondente, o ponto (-2,9).

Passo 4

Determinar o sinal de p(x) (para saber onde aplicar a reflexão do valor absoluto).\n
Sabemos que p(x) é uma parábola que abre para cima ( a=1>0) e tem raízes em \,-5 e 1. Assim:
  • Para x<-5, p(x)>0.
  • Para -5<x<1, p(x)<0.
  • Para x>1, p(x)>0.\n
    Conclusão prática: o trecho da parábola entre -5 e 1 fica negativo e, ao tomar o valor absoluto, será refletido para cima; fora desse intervalo a parábola já é positiva e permanece igual.

Passo 5

Escrever a forma peça a peça da função f\), que é a forma mais útil para desenhar: \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x-5, & \text{se } x\le -5 \text{ ou } x\ge 1,\\[4pt] -(x^{2}+4x-5)=-x^{2}-4x+5, & \text{se } -5<x<1. \end{cases}
(Em x=-5\] e \(x=1 os dois ramos valem 0, então podemos incluir os extremos em qualquer um dos lados sem problema.)
Explicação didática: o valor absoluto deixa inalteradas as partes onde p(x) já é não negativa; onde p(x) é negativa, multiplicamos por -1 para que o resultado fique positivo — é como “virar” esse pedaço da parábola para cima.]

Passo 6

Calcular alguns pontos-chave para ajudar no esboço (vou calcular valores fáceis e importantes):
\begin{aligned} f(-6)&=\left|(-6)^{2}+4(-6)-5\right|=\left|36-24-5\right|=\left|7\right|=7,\\\ f(-5)&=0\quad(\text{raiz}),\\\ f(-3)&=\left|(-3)^{2}+4(-3)-5\right|=\left|9-12-5\right|=\left|-8\right|=8,\\\ f(-2)&=\left|(-2)^{2}+4(-2)-5\right|=\left|-9\right|=9\quad(\text{vértice de }f),\\\ f(0)&=\left|0+0-5\right|=5,\\\ f(1)&=0\quad(\text{raiz}),\\\ f(2)&=\left|4+8-5\right|=\left|7\right|=7. \end{aligned}é
Esses pontos dão um esqueleto do gráfico: zeros em (-5,0) e (1,0), máximo local do ramo refletido em (-2,9) e intercepto em y em (0,5).

Passo 7

Verificar suavidade (diferenciabilidade) nos pontos onde o sinal muda ( x=-5 e x=1).\n
Derivadas dos ramos:
  • Para x<-5 ou x>1, f'(x)=2x+4 (derivada de x^{2}+4x-5).
  • Para -5<x<1, f'(x)=-2x-4 (derivada de -x^{2}-4x+5).\n
    Avaliações laterais:
  • Em x=-5: derivada pela esquerda =2(-5)+4=-10+4=-6. derivada pela direita =-2(-5)-4=10-4=6. Sinais e valores diferentes, logo há um canto (não diferenciável) em (-5,0).
  • Em x=1: derivada pela esquerda =-2(1)-4=-6. derivada pela direita =2(1)+4=6. Novamente um canto em (1,0).\n
    Portanto o gráfico é contínuo mas não diferenciável em -5 e 1 — visualmente aparecem como “pontos agudos” onde o ramo foi refletido.

Passo 8

Como desenhar passo a passo (guia prático para você reproduzir rápido na prova):
  1. Desenhe a parábola p(x)=x^{2}+4x-5 mentalmente: vértice em (-2,-9), cruza o eixo x em -5 e 1.
  2. Marque os pontos calculados: (-6,7), (-5,0), (-3,8), (-2,-9) (vértice da parábola original), (0,5), (1,0), (2,7).
  3. Para x\le-5 e x\ge1 mantenha a parábola original (ramo para cima passando por (-6,7), (-5,0), e (2,7)).
  4. Para -5<x<1 substitua o trecho que estava abaixo do eixo x pela sua reflexão para cima — isto transforma o vértice (-2,-9) em (-2,9) e passa por (-3,8) e (0,5). Ligue esses pontos formando uma curva suave (concavidade invertida nesse trecho, pois agora é um ramo de parábola com coeficiente principal negativo).
  5. Observe os cantos em (-5,0) e (1,0) (as tangentes mudam de inclinação aí).\n
    O comportamento para x\to\pm\infty é quadrático positivo: f(x)\to+\infty.

Passo 9

Resumo das características importantes (para você conferir rápido na prova):
  • Zeros: \,(-5,0)\) e \((1,0)\). - Vértice do ramo refletido (máximo local do trecho central): \((-2,9)\). - Vértice da parábola original (antes da reflexão): \((-2,-9)\) — esse ponto é refletido para \((-2,9)\) no gráfico de \(f\). - Intercepto em \(y\): \((0,5)\). - Função peça a peça: \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x-5, & x\le -5 \text{ ou } x\ge 1,\\[4pt] -x^{2}-4x+5, & -5<x<1. \end{cases}
  • Contínua em todo \mathbb{R}\], mas não diferenciável em \(x=-5 e x=1.]

Resposta

f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x-5, & x\le -5 \text{ ou } x\ge 1,\\[4pt] -x^{2}-4x+5, & -5<x<1, \end{cases}
Zeros: (-5,0) e (1,0).
Vértice do ramo central: (-2,9).
Intercepto em y: (0,5).]

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