Decomponha cada expressão como produto de duas expressões;
a) x^{2}-a^{2}
b) x^{4}-a^{4}
c) x^{5}-a^{5}
d) x^{n}-a^{n}, onde n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para decompor cada uma destas expressões como produto de duas expressões:
\text{(a)}\; x^{2}-a^{2},\qquad \text{(b)}\; x^{4}-a^{4},\qquad \text{\text{(c)}}\; x^{5}-a^{5},\qquad \text{(d)}\; x^{n}-a^{n}\text{ com }n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes dadas: cada item é uma diferença de potências de x e a. Não há restrição sobre x e a (podem ser números ou símbolos), nem sobre n além de ser natural.

Passo 2

Vamos começar pelo caso mais simples: decompor \,x^{2}-a^{2}\,. Aqui podemos usar a identidade clássica chamada diferença de quadrados. A fórmula é
x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Explicando por que isso vale: faça a multiplicação do lado direito e observe que os termos mistos se cancelam:
(x-a)(x+a)=x\cdot x + x\cdot a - a\cdot x - a\cdot a = x^{2}+ax-ax-a^{2}=x^{2}-a^{2}.
Pronto: isso dá a decomposição pedida em duas expressões.

Passo 3

Agora \,x^{4}-a^{4}\,. Uma maneira direta e elegante é perceber que é uma diferença de quadrados aplicada duas vezes, porque x^{4}=(x^{2})^{2} e a^{4}=(a^{2})^{2}. Assim:
x^{4}-a^{4}=(x^{2})^{2}-(a^{2})^{2}=(x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2}).
Isso já escreve x^{4}-a^{4} como produto de duas expressões (como o enunciado pede). Se quisermos, podemos ainda fatorar \,x^{2}-a^{2}\, usando o resultado do Passo 2, obtendo a fatoração completa
x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)(x^{2}+a^{2}),
mas a demanda era só produto de duas expressões, então a forma (x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2}) já satisfaz.

Passo 4

Para \,x^{5}-a^{5}\, usamos uma fórmula geral para diferença de potências com expoente inteiro positivo: sempre que subtrai-se potências com a mesma base relativa, (x-a) é um fator. Especificamente, a identidade é
x^{5}-a^{5}=(x-a)\bigl(x^{4}+x^{3}a+x^{2}a^{2}+x a^{3}+a^{4}\bigr).
Posso mostrar como verificar rapidamente: multiplique (x-a) pelo polinômio entre parênteses e veja que ocorre um telescoping (somas que se cancelam) deixando apenas x^{5}-a^{5}. Vou fazer essa multiplicação explicitamente no próximo passo.

Passo 5

Verificação por multiplicação (mostrando o telescoping) para o caso geral também vale aqui. Multiplicando no caso n=5:
(x-a)\bigl(x^{4}+x^{3}a+x^{2}a^{2}+x a^{3}+a^{4}\bigr)=
= x\cdot x^{4}+x\cdot x^{3}a+x\cdot x^{2}a^{2}+x\cdot x a^{3}+x\cdot a^{4} - \bigl(a\cdot x^{4}+a\cdot x^{3}a+a\cdot x^{2}a^{2}+a\cdot x a^{3}+a\cdot a^{4}\bigr).
Agora organize os termos por potências de x:
= x^{5}+x^{4}a+x^{3}a^{2}+x^{2}a^{3}+x a^{4} - \bigl(a x^{4}+a^{2}x^{3}+a^{3}x^{2}+a^{4}x+a^{5}\bigr).
Observe que x^{4}a cancela com a x^{4}, x^{3}a^{2} cancela com a^{2}x^{3}, e assim por diante — tudo cancela exceto x^{5} e -a^{5}. Logo o resultado é exatamente
x^{5}-a^{5}.
Isso confirma a fórmula do Passo 4.

Passo 6

Agora a generalização: para todo n\in\mathbb{N} vale a identidade
x^{n}-a^{n}=(x-a)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}\bigr).
Uma forma de escrever o somatório é
x^{n}-a^{n}=(x-a)\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}a^{k}.
Explicação didática do porquê: esse somatório é a série geométrica finita que aparece ao dividir x^{n}-a^{n} por x-a. Para ver diretamente, multiplique (x-a) pelo somatório:
(x-a)\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}a^{k} = \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}a^{k} - \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}a^{k+1}.
Se você reindexar o segundo somatório (ou apenas observar termos correspondentes), verá que todos os termos intermediários se cancelam em pares, sobrando apenas x^{n} do primeiro somatório e -a^{n} do segundo. Assim o produto é x^{n}-a^{n}.

Passo 7

Resumo prático — em prova, se pedirem decompor x^{n}-a^{n}, memorize e aplique a identidade do Passo 6 diretamente. Para potências específicas você pode também usar diferenças de quadrados (quando o expoente for par) para obter fatores adicionais, mas a fatoração (x-a) vezes a soma geométrica sempre funciona.

Resposta

(x-a)(x+a)
(x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2})
(x-a)\bigl(x^{4}+x^{3}a+x^{2}a^{2}+x a^{3}+a^{4}\bigr)
(x-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,n-1-k}a^{k}

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