Decomponha cada expressão como produto de duas expressões;
a)
b)
c)
d)
, onde
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para decompor cada uma destas expressões como produto de duas expressões:
Informações relevantes dadas: cada item é uma diferença de potências de
e
. Não há restrição sobre
e
(podem ser números ou símbolos), nem sobre
além de ser natural.
Passo 2
Vamos começar pelo caso mais simples: decompor
. Aqui podemos usar a identidade clássica chamada diferença de quadrados. A fórmula é
Explicando por que isso vale: faça a multiplicação do lado direito e observe que os termos mistos se cancelam:
Pronto: isso dá a decomposição pedida em duas expressões.
Passo 3
Agora
. Uma maneira direta e elegante é perceber que é uma diferença de quadrados aplicada duas vezes, porque
e
. Assim:
Isso já escreve
como produto de duas expressões (como o enunciado pede). Se quisermos, podemos ainda fatorar
usando o resultado do Passo 2, obtendo a fatoração completa
mas a demanda era só produto de duas expressões, então a forma
já satisfaz.
Passo 4
Para
usamos uma fórmula geral para diferença de potências com expoente inteiro positivo: sempre que subtrai-se potências com a mesma base relativa,
é um fator. Especificamente, a identidade é
Posso mostrar como verificar rapidamente: multiplique
pelo polinômio entre parênteses e veja que ocorre um telescoping (somas que se cancelam) deixando apenas
. Vou fazer essa multiplicação explicitamente no próximo passo.
Passo 5
Verificação por multiplicação (mostrando o telescoping) para o caso geral também vale aqui. Multiplicando no caso
:
Agora organize os termos por potências de
:
Observe que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante — tudo cancela exceto
e
. Logo o resultado é exatamente
Isso confirma a fórmula do Passo 4.
Passo 6
Agora a generalização: para todo
vale a identidade
Uma forma de escrever o somatório é
Explicação didática do porquê: esse somatório é a série geométrica finita que aparece ao dividir
por
. Para ver diretamente, multiplique
pelo somatório:
Se você reindexar o segundo somatório (ou apenas observar termos correspondentes), verá que todos os termos intermediários se cancelam em pares, sobrando apenas
do primeiro somatório e
do segundo. Assim o produto é
.
Passo 7
Resumo prático — em prova, se pedirem decompor
, memorize e aplique a identidade do Passo 6 diretamente. Para potências específicas você pode também usar diferenças de quadrados (quando o expoente for par) para obter fatores adicionais, mas a fatoração
vezes a soma geométrica sempre funciona.