Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede duas coisas: encontrar o conjunto solução (ou seja, todos os
que satisfazem a desigualdade) e mostrá-lo na reta numérica real. Informações relevantes que já temos: os coeficientes do polinômio são
,
(quando colocarmos tudo em um lado) e o termo constante inicial à direita é
. A desigualdade é estrita (
), então, se chegarmos a pontos onde a expressão se zera, esses pontos não pertencem à solução.
Passo 2
Primeiro passo técnico habitual: passar tudo para o mesmo lado, transformando a desigualdade numa forma padrão de polinômio comparado com zero. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Agora estamos diante de uma desigualdade do segundo grau da forma
, com
,
,
.
Passo 3
Explico como resolvemos uma desigualdade quadrática: encontramos as raízes da equação associada (a igualdade)
pois essas raízes dividem a reta em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. Depois analisamos o sinal do polinômio em cada intervalo. Para achar as raízes usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde
,
e
são os coeficientes do polinômio
. O termo
chama-se discriminante e indica se há raízes reais e quais são.
Passo 4
Calculamos o discriminante
para a nossa equação. Aqui
,
,
. Então
Faço as contas passo a passo:
logo
Como
, teremos duas raízes reais distintas.
Passo 5
Agora aplico a fórmula de Bhaskara:
Calculo cada parte:
Assim as duas raízes são
e
Portanto os zeros do polinômio são
e
.
Passo 6
Agora fazemos a análise do sinal do polinômio
. Como o coeficiente
é positivo, o gráfico da parábola abre para cima. Para parábolas que abrem para cima o sinal de
é:
- negativo entre as raízes (onde a parábola fica abaixo do eixo
), - positivo fora das raízes (onde a parábola fica acima do eixo
).
Logo,exatamente para os entre as raízes. Como a desigualdade é estrita, as próprias raízes não entram na solução.
Passo 7
Concluímos que a solução da desigualdade
é o intervalo aberto entre as raízes:
Passo 8
Verificação rápida com pontos de teste (prática útil na prova): escolha um ponto dentro do intervalo, por exemplo
. Substituindo em
dá
, verdadeiro. Escolha um ponto fora, por exemplo
. Substituindo dá
, então fora do intervalo a desigualdade é falsa. Isso confirma que a solução está mesmo entre
e
.
Passo 9
Representação na reta numérica: colocamos dois pontos abertos (porque desigualdade estrita) em
e em
e sombreamos a região entre eles. Em texto: