Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
4 x^{2}-9 x<9

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
4x^{2}-9x<9
e pede duas coisas: encontrar o conjunto solução (ou seja, todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade) e mostrá-lo na reta numérica real. Informações relevantes que já temos: os coeficientes do polinômio são a=4, b=-9 (quando colocarmos tudo em um lado) e o termo constante inicial à direita é 9. A desigualdade é estrita ( <), então, se chegarmos a pontos onde a expressão se zera, esses pontos não pertencem à solução.

Passo 2

Primeiro passo técnico habitual: passar tudo para o mesmo lado, transformando a desigualdade numa forma padrão de polinômio comparado com zero. Subtraindo 9 de ambos os lados obtemos
4x^{2}-9x-9<0.
Agora estamos diante de uma desigualdade do segundo grau da forma \,ax^{2}+bx+c<0, com \,a=4, \,b=-9, \,c=-9.

Passo 3

Explico como resolvemos uma desigualdade quadrática: encontramos as raízes da equação associada (a igualdade)
4x^{2}-9x-9=0,
pois essas raízes dividem a reta em intervalos onde o sinal do polinômio é constante. Depois analisamos o sinal do polinômio em cada intervalo. Para achar as raízes usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \,a, \,b e \,c são os coeficientes do polinômio ax^{2}+bx+c. O termo \Delta=b^{2}-4ac chama-se discriminante e indica se há raízes reais e quais são.

Passo 4

Calculamos o discriminante \Delta para a nossa equação. Aqui a=4, b=-9, c=-9. Então
\Delta = b^{2}-4ac = (-9)^{2}-4\cdot 4\cdot(-9).
Faço as contas passo a passo:
(-9)^{2}=81,
4\cdot 4\cdot(-9)=16\cdot(-9)=-144,
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\Delta = 81 - (-144) = 81 + 144 = 225.
Como \Delta=225>0, teremos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Agora aplico a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-9)\pm\sqrt{225}}{2\cdot 4}.
Calculo cada parte:
-(-9)=9,\qquad \sqrt{225}=15,\qquad 2\cdot 4=8.
Assim as duas raízes são
x_1=\frac{9-15}{8}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}
e
x_2=\frac{9+15}{8}=\frac{24}{8}=3.
Portanto os zeros do polinômio são x=-\frac{3}{4} e x=3.

Passo 6

Agora fazemos a análise do sinal do polinômio \,p(x)=4x^{2}-9x-9. Como o coeficiente a=4 é positivo, o gráfico da parábola abre para cima. Para parábolas que abrem para cima o sinal de p(x) é:
  • negativo entre as raízes (onde a parábola fica abaixo do eixo x),
  • positivo fora das raízes (onde a parábola fica acima do eixo x).
    Logo, p(x)<0 exatamente para os x entre as raízes. Como a desigualdade é estrita, as próprias raízes não entram na solução.

Passo 7

Concluímos que a solução da desigualdade \,4x^{2}-9x-9<0 é o intervalo aberto entre as raízes:
-\tfrac{3}{4}<x<3.

Passo 8

Verificação rápida com pontos de teste (prática útil na prova): escolha um ponto dentro do intervalo, por exemplo x=0. Substituindo em 4x^{2}-9x-9 0-0-9=-9<0, verdadeiro. Escolha um ponto fora, por exemplo x=4. Substituindo dá 4\cdot 16 - 9\cdot 4 -9 =64-36-9=19>0, então fora do intervalo a desigualdade é falsa. Isso confirma que a solução está mesmo entre -\tfrac{3}{4} e 3.

Passo 9

Representação na reta numérica: colocamos dois pontos abertos (porque desigualdade estrita) em x=-\tfrac{3}{4} e em x=3 e sombreamos a região entre eles. Em texto:
\text{Reta: }\quad \cdots \;\circ\;(-\tfrac{3}{4})\;\longleftarrow\!\!\!\!\text{(sombreado)}\!\!\!\!\longrightarrow\;\circ\;(3)\;\cdots

Resposta

\left(-\tfrac{3}{4},\,3\right)

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