Dados a e b reais mostre que
|a|-|b| \leq|a-b| .

Passo 1

O enunciado dá dois números reais a e b e pede para mostrar a desigualdade
|a|-|b| \leq |a-b|.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Dados: } a,b\in\mathbb{R}.
\text{Pedido: provar que } |a|-|b| \leq |a-b|.

Passo 2

Definição e propriedades básicas que vamos usar (explicadas devagar):
\text{Para } x\in\mathbb{R},\qquad |x| = \begin{cases} x & \text{se } x\ge 0,\\\\ -x & \text{se } x<0. \end{cases}
Dessa definição seguem duas propriedades úteis:
|x|\ge 0\quad\text{(não-negatividade)}ã
e
|xy| = |x|\,|y|.
Um exemplo simples para fixar: se x=-3 e y=2, então |x|=3, |y|=2 e |x+y|=|-1|=1, enquanto |x|+|y|=5.

Passo 3

Vamos provar a desigualdade triangular para números reais, que é a ferramenta principal aqui. A desigualdade triangular diz que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
|x+y| \le |x| + |y|.
Prova (passo a passo, usando quadrados):
|x+y|^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
Agora observamos que 2xy \le 2|xy| porque xy \le |xy| (o módulo é sempre maior ou igual ao número). Assim
x^2 + 2xy + y^2 \le x^2 + 2|xy| + y^2 = (|x|+|y|)^2.
Portanto
|x+y|^2 \le (|x|+|y|)^2.
Como ambos os lados são não-negativos, tirando raiz quadrada obtemos
|x+y| \le |x| + |y|,
que é exatamente a desigualdade triangular. Intuição rápida: somar antes de pegar o módulo sempre dá algo menor ou igual a somar os módulos separadamente.

Passo 4

Agora aplicamos a desigualdade triangular ao caso que interessa. Reescrevo a como soma de dois termos:
a = (a-b) + b.
Aplicando a desigualdade triangular com x=a-b e y=b, obtemos
|a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b|.
Subtraindo |b| de ambos os lados (subtração válida pois são números reais),
|a| - |b| \le |a-b|.
Pronto — é exatamente a desigualdade que pedimos para mostrar.

Passo 5

Observação complementar (útil na prova/orientação): trocando o papel de a e b na mesma demonstração obtemos
|b| - |a| \le |b-a| = |a-b|.
Unindo as duas desigualdades conseguimos a forma absoluta mais forte
\bigl||a|-|b|\bigr| \le |a-b|.
Isso diz que a diferença entre os módulos é controlada pelo módulo da diferença — uma forma simétrica e às vezes mais informativa.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para sentir a desigualdade:
\text{Se } a=3,\; b=1:\quad |a|-|b| = 3-1=2,\quad |a-b|=|2|=2,\\ \text{igualdade ocorre.}
\text{Se } a=-1,\; b=4:\quad |a|-|b| = 1-4=-3,\quad |a-b|=|-5|=5,\\ \text{desigualdade satisfeita.}
Esses exemplos mostram que a desigualdade pode ser estrita ou com igualdade dependendo dos valores.

Resposta

|a|-|b| \leq |a-b|

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