Um exemplo simples para fixar: se x=-3 e y=2, então |x|=3, |y|=2 e |x+y|=|-1|=1, enquanto |x|+|y|=5.
Passo 3
Vamos provar a desigualdade triangular para números reais, que é a ferramenta principal aqui. A desigualdade triangular diz que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
|x+y| \le |x| + |y|.
Prova (passo a passo, usando quadrados):
|x+y|^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
Agora observamos que 2xy \le 2|xy| porque xy \le |xy| (o módulo é sempre maior ou igual ao número). Assim
Como ambos os lados são não-negativos, tirando raiz quadrada obtemos
|x+y| \le |x| + |y|,
que é exatamente a desigualdade triangular. Intuição rápida: somar antes de pegar o módulo sempre dá algo menor ou igual a somar os módulos separadamente.
Passo 4
Agora aplicamos a desigualdade triangular ao caso que interessa. Reescrevo a como soma de dois termos:
a = (a-b) + b.
Aplicando a desigualdade triangular com x=a-b e y=b, obtemos
|a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b|.
Subtraindo |b| de ambos os lados (subtração válida pois são números reais),
|a| - |b| \le |a-b|.
Pronto — é exatamente a desigualdade que pedimos para mostrar.
Passo 5
Observação complementar (útil na prova/orientação): trocando o papel de a e b na mesma demonstração obtemos
|b| - |a| \le |b-a| = |a-b|.
Unindo as duas desigualdades conseguimos a forma absoluta mais forte
\bigl||a|-|b|\bigr| \le |a-b|.
Isso diz que a diferença entre os módulos é controlada pelo módulo da diferença — uma forma simétrica e às vezes mais informativa.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para sentir a desigualdade: