Quando \Delta=0 essas duas expressões coincidem num único valor que chamamos de raiz dupla
x_{0}=\frac{-b}{2a}.
Fatoração pela raiz: sempre que \Delta\ge 0 a quadrática se fatoriza como
f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}).
Se \Delta=0 então x_{1}=x_{2}=x_{0} e
f(x)=a(x-x_{0})^{2}.
Intuição geométrica (útil para a prova): o gráfico de f é uma parábola. Se a>0 a parábola “abre para cima” (vértice para baixo); se a<0 abre para baixo. As interseções com o eixo x são exatamente as raízes reais; entre e fora dessas raízes o sinal de f(x) é determinado pela forma da parábola.
Passo 3
Analisando o sinal do produto a(x-x_{1})(x-x_{2}) quando \Delta>0 (duas raízes reais distintas).
Ordene as raízes como x_{1}<x_{2}. Para analisar o sinal consideramos os intervalos:
Em cada intervalo os fatores (x-x_{1}) e (x-x_{2}) têm sinais fixos, então o produto tem sinal fixo. Resumo:
Se a>0:
x<x_{1}: ambos (x-x_{1})<0 e (x-x_{2})<0 então (x-x_{1})(x-x_{2})>0 e f(x)=a(\cdots)>0.
x_{1}<x<x_{2}: (x-x_{1})>0 e (x-x_{2})<0 então produto <0 e f(x)<0.
x>x_{2}: ambos >0 então produto >0 e f(x)>0.
Portanto, para a>0 e \Delta>0:
f(x)>0\text{ em }(-\infty,x_{1})\cup(x_{2},\infty),\qquad f(x)<0\text{ em }(x_{1},x_{2}),\qquad f(x)=0\text{ em }\{x_{1},x_{2}\}.
Se a<0 (parábola abre para baixo), os sinais se invertem (multiplicando por a<0 troca o sinal):
f(x)<0\text{ em }(-\infty,x_{1})\cup(x_{2},\infty),\qquad f(x)>0\text{ em }(x_{1},x_{2}),\qquad f(x)=0\text{ em }\{x_{1},x_{2}\}.
Passo 4
Caso \Delta=0 (raiz dupla). Aqui x_{1}=x_{2}=x_{0}=-\dfrac{b}{2a} e
f(x)=a(x-x_{0})^{2}.
Como (x-x_{0})^{2}\ge 0 para todo x, o sinal de f(x) é determinado por a:
Se a>0: (x-x_{0})^{2}>0 para x\neq x_{0}, então f(x)>0 para todo x\neq x_{0} e f(x_{0})=0. Ou seja, f(x)\ge 0 em \mathbb{R}, com igualdade só em x_{0}.
Se a<0: então f(x)\le 0 em \mathbb{R}, com f(x)<0 para x\neq x_{0} e f(x_{0})=0.
Passo 5
Caso \Delta<0 (nenhuma raiz real). A quadrática não cruza o eixo x, então mantém o mesmo sinal para todo x, e esse sinal é o sinal de a:
Se a>0: f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
Se a<0: f(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: sem raízes reais não há pontos onde f(x)=0, e como a parábola é contínua e tem comportamento dominante a x^{2} para |x|\to\infty, o sinal é o de a.
Passo 6
Resumo prático para usar na prova (passo a passo que você pode reproduzir rápido):
Calcule \Delta=b^{2}-4ac.
Se \Delta>0: calcule x_{1},x_{2}=\dfrac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a} e ordene x_{1}<x_{2}. Use a fatoração f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) e o diagrama de sinais para concluir onde f é positivo, negativo ou zero (ver Passo 3).
Se \Delta=0: raiz dupla x_{0}=-\dfrac{b}{2a}. Use f(x)=a(x-x_{0})^{2}.
Se \Delta<0: conclua imediatamente que f tem o mesmo sinal de a para todo x.
Exemplos rápidos (para fixar):
f(x)=x^{2}-1 (a=1,b=0,c=-1, \Delta=4>0): raízes -1,1. Como a>0, f>0 fora do intervalo [-1,1] e f<0 dentro.
f(x)=(x-1)^{2} (\Delta=0,a=1): f\ge 0 e f=0 só em x=1.
f(x)=x^{2}+1 (\Delta=-3<0,a=1): f(x)>0 para todo x.
Resposta
a) f(x)>0:\)
\[\begin{cases} \text{se }\Delta>0\text{ e }a>0:\;x\in(-\infty,x_{1})\cup(x_{2},\infty),\\[4pt] \text{se }\Delta>0\text{ e }a<0:\;x\in(x_{1},x_{2}),\\[4pt] \text{se }\Delta=0\text{ e }a>0:\;x\in\mathbb{R}\setminus\{x_{0}\},\\[4pt] \text{se }\Delta=0\text{ e }a<0:\;\varnothing,\\[4pt] \text{se }\Delta<0\text{ e }a>0:\;\mathbb{R},\\[4pt] \text{se }\Delta<0\text{ e }a<0:\;\varnothing, \end{cases}
onde x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\;x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] (para \[\Delta>0) e x_{0}=-\dfrac{b}{2a} (para \Delta=0).
b) f(x)<0:
\begin{cases} \text{se }\Delta>0\text{ e }a>0:\;x\in(x_{1},x_{2}),\\[4pt] \text{se }\Delta>0\text{ e }a<0:\;x\in(-\infty,x_{1})\cup(x_{2},\infty),\\[4pt] \text{se }\Delta=0\text{ e }a>0:\;\varnothing,\\[4pt] \text{se }\Delta=0\text{ e }a<0:\;x\in\mathbb{R}\setminus\{x_{0}\},\\[4pt] \text{se }\Delta<0\text{ e }a>0:\;\varnothing,\\[4pt] \text{se }\Delta<0\text{ e }a<0:\;\mathbb{R}. \end{cases}
c) (f(x)=0:] \begin{cases} \text{se }\Delta>0:\;x=x_{1}\text{ ou }x=x_{2},\\[4pt] \text{se }\Delta=0:\;x=x_{0},\\[4pt] \text{se }\Delta<0:\;\varnothing. \end{cases}]