Ache o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
Essa questão envolve equações com valor absoluto. Pra resolver isso, a gente precisa entender como lidar com os valores absolutos, ou seja, como remover os “barras” e considerar diferentes possibilidades para resolver a equação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número é sempre não negativo. Ou seja,
para qualquer número real
. Então, o lado direito da nossa equação,
, também precisa ser não negativo, já que está igualando a um valor absoluto.
Então, temos que:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que fazem sentido na nossa equação original. Quando temos
, isso significa que
está dentro do intervalo
e
.
Aplicando isso:
Resolvendo as duas inequações:
Então, nosso intervalo de interesse é:
Passo 4
Agora que sabemos que
está entre 3 e 7, vamos voltar à equação original:
Para resolver essa equação com valor absoluto, vamos considerar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos podem ser positivas ou negativas.
Passo 5
Caso 1:
e
Isso implica que:
Isso implica que:
Como
já satisfaz
, vamos considerar
.
Nessa situação, a equação fica:
Adicionar
e 1 aos dois lados:
Mas, olha só,
não está no intervalo
que consideramos. Então, esse caso não nos dá uma solução válida.
Passo 6
Caso 2:
e
Isso significa:
Isso significa:
Então,
A equação fica:
Subtraindo
e adicionando 1 aos dois lados:
Mas
não está no intervalo
. Então, também não temos solução nesse caso.
Passo 7
Caso 3:
e
Isso implica:
Isso implica:
Não há número que seja menor que
e ao mesmo tempo maior ou igual a 5. Então, esse caso não tem solução.
Passo 8
Caso 4:
e
Ou seja:
Ou seja:
Então,
.
A equação fica:
Adicionando
e 3 aos dois lados:
Mas
não está no intervalo
. Então, esse caso também não nos dá uma solução válida.
Resposta
Depois de analisar todos os casos, percebemos que não existe nenhum valor de
que satisfaça a equação original. Portanto, o conjunto solução é o conjunto vazio: