Ache o conjunto solução das seguintes equações:
|3 x-1|=2-|x-5|

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
|3x - 1| = 2 - |x - 5|
Essa questão envolve equações com valor absoluto. Pra resolver isso, a gente precisa entender como lidar com os valores absolutos, ou seja, como remover os “barras” e considerar diferentes possibilidades para resolver a equação. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número é sempre não negativo. Ou seja, |a| >= 0 para qualquer número real a. Então, o lado direito da nossa equação, 2 - |x - 5|, também precisa ser não negativo, já que está igualando a um valor absoluto.
Então, temos que:
2 - |x - 5| >= 0
Isso significa que:
|x - 5| <= 2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x que fazem sentido na nossa equação original. Quando temos |x - a| <= b, isso significa que x está dentro do intervalo a - b e a + b.
Aplicando isso:
x - 5 <= 2 e x - 5 >= -2
Resolvendo as duas inequações:
  1. x - 5 <= 2
    x <= 7
  2. x - 5 >= -2
    x >= 3
Então, nosso intervalo de interesse é:
3 <= x <= 7

Passo 4

Agora que sabemos que x está entre 3 e 7, vamos voltar à equação original:
|3x - 1| = 2 - |x - 5|
Para resolver essa equação com valor absoluto, vamos considerar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos podem ser positivas ou negativas.

Passo 5

Caso 1: 3x - 1 >= 0 e x - 5 >= 0
Isso implica que:
3x - 1 >= 0 Rightarrow x >= 13
x - 5 >= 0 Rightarrow x >= 5
Como x >= 5 já satisfaz x >= 13, vamos considerar x >= 5.
Nessa situação, a equação fica:
3x - 1 = 2 - (x - 5)
3x - 1 = 2 - x + 5
3x - 1 = 7 - x
Adicionar x e 1 aos dois lados:
4x = 8
x = 2
Mas, olha só, x = 2 não está no intervalo x >= 5 que consideramos. Então, esse caso não nos dá uma solução válida.

Passo 6

Caso 2: 3x - 1 >= 0 e x - 5 < 0
Isso significa:
x >= 13
x < 5
Então, 13 <= x < 5
A equação fica:
3x - 1 = 2 - (-(x - 5))
3x - 1 = 2 + x - 5
3x - 1 = x - 3
Subtraindo x e adicionando 1 aos dois lados:
2x = -2
x = -1
Mas x = -1 não está no intervalo 13 <= x < 5 . Então, também não temos solução nesse caso.

Passo 7

Caso 3: 3x - 1 < 0 e x - 5 >= 0
Isso implica:
3x - 1 < 0 Rightarrow x < 13
x - 5 >= 0 Rightarrow x >= 5
Não há número que seja menor que 13 e ao mesmo tempo maior ou igual a 5. Então, esse caso não tem solução.

Passo 8

Caso 4: 3x - 1 < 0 e x - 5 < 0
Ou seja:
x < 13
x < 5
Então, x < 13.
A equação fica:
-(3x - 1) = 2 - (-(x - 5))
-3x + 1 = 2 + x - 5
-3x + 1 = x - 3
Adicionando 3x e 3 aos dois lados:
4 = 4x
x = 1
Mas x = 1 não está no intervalo x < 13. Então, esse caso também não nos dá uma solução válida.

Resposta

Depois de analisar todos os casos, percebemos que não existe nenhum valor de x que satisfaça a equação original. Portanto, o conjunto solução é o conjunto vazio:
varnothing

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