Ache o conjunto solução das seguintes inequações:
x^3-x^2-2 x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! A questão é encontrar todos os valores de x que satisfazem x^3 - x^2 - 2x > 0 . Vamos usar conceitos de álgebra, como fatoração de polinômios e análise de sinais, para descobrir onde a expressão é positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^3 - x^2 - 2x . Podemos fatorar um x comum:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 - x - 2 . Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, a expressão original fica:
x(x - 2)(x + 1)

Passo 4

Para encontrar onde essa expressão é maior que zero, vamos identificar os valores de x que tornam cada fator positivo ou negativo. Os pontos críticos são onde cada fator é zero:
x = 0, x = 2, x = -1
Esses pontos dividem a linha dos números em quatro intervalos:
  1. x < -1
  2. -1 < x < 0
  3. 0 < x < 2
  4. x > 2
Vamos testar cada intervalo:
  1. x < -1 : Escolha x = -2 :
(-2)(-2 - 2)(-2 + 1) = (-2)(-4)(-1) = -8 < 0
Não satisfaz a inequação.
  1. -1 < x < 0 : Escolha x = -0,5 :
(-0,5)(-0,5 - 2)(-0,5 + 1) = (-0,5)(-2,5)(0,5) = 0,625 > 0
Satisfaz a inequação.
  1. 0 < x < 2 : Escolha x = 1 :
(1)(1 - 2)(1 + 1) = (1)(-1)(2) = -2 < 0
Não satisfaz a inequação.
  1. x > 2 : Escolha x = 3 :
(3)(3 - 2)(3 + 1) = (3)(1)(4) = 12 > 0
Satisfaz a inequação.

Resposta

O conjunto solução da inequação x^3 - x^2 - 2x > 0 é:
(-1,,0) cup (2,,+infty)

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