(2,00 pontos) Calcule:
I=integral xraiz1+x^2+raiz(1+x^2)^3 d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
I = integral xraiz1 + x^2 + raiz(1 + x^2)^3,dx
Este problema envolve um radical aninhado, e uma boa estratégia é usar uma substituição que simplifique o termo raiz1 + x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz1 + x^2
logo t^2 = 1 + x^2. Diferenciando, obtemos
dt = xraiz1 + x^2,dx = xt,dx
e, portanto,
x,dx = t,dt

Passo 3

Observe que o denominador da integral original se torna
raiz1 + x^2 + raiz(1 + x^2)^3 = raizt^2 + t^3 = traiz1 + t
Substituindo na integral, temos
I = integral x,dxtraiz1 + t = integral t,dttraiz1 + t = integral dtraiz1 + t

Passo 4

A integral
integral dtraiz1 + t
é uma potência de 1+t. Logo,
integral (1 + t)^-1/2,dt = 2raiz1 + t + C

Passo 5

Voltando à variável x pelo fato de t = raiz1 + x^2, obtemos
I = 2raiz1 + raiz1 + x^2 + C

Resposta

I = 2raiz1 + raiz1 + x^2 + C

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