pontos) Resolva a integral indefinida:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Temos
. Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos considerar que
se parece com a identidade trigonométrica
.
Por isso, vamos fazer a substituição:
Aqui, escolhemos
porque
nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Agora, vamos calcular
em termos de
:
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte da expressão:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Simplificando os termos da fração:
Aqui, usamos a identidade
.
Passo 6
Agora, integrar
é bem direto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral indefinida é: