(2,00 pontos) Resolva a integral indefinida: I=integral d xx^2 cdot(x^2-9)^1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
I = integral dxx^2 cdot raizx^2-9
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Temos raizx^2 - 9. Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos considerar que x^2 - 9 se parece com a identidade trigonométrica tan^2 theta + 1 = sec^2 theta .
Por isso, vamos fazer a substituição:
x = 3 sec theta
Aqui, escolhemos 3 sec theta porque sec theta = x3 nos ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx em termos de theta:
dx = 3 sec theta tan theta , dtheta
Substituindo x e dx na integral original, temos:
I = integral 3 sec theta tan theta , dtheta(3 sec theta)^2 cdot raiz(3 sec theta)^2 - 9

Passo 4

Vamos simplificar cada parte da expressão:
  1. (3 sec theta)^2 = 9 sec^2 theta
  2. raiz9 sec^2 theta - 9 = raiz9(sec^2 theta - 1) = raiz9 tan^2 theta = 3 tan theta
Substituindo de volta na integral:
I = integral 3 sec theta tan theta , dtheta9 sec^2 theta cdot 3 tan theta

Passo 5

Simplificando os termos da fração:
I = integral 3 sec theta tan theta27 sec^2 theta tan theta , dtheta = integral 19 sec theta , dtheta = 19 integral cos theta , dtheta
Aqui, usamos a identidade 1sec theta = cos theta.

Passo 6

Agora, integrar cos theta é bem direto:
19 integral cos theta , dtheta = 19 sin theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 3 sec theta, então:
sin theta = raizx^2 - 9x
Substituindo de volta:
I = 19 cdot raizx^2 - 9x + C = raizx^2 - 99x + C

Resposta

A integral indefinida é:
I = raizx^2 - 99x + C

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