Ache o conjunto solução das seguintes inequações:
x2<1+4x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x2 < 1 + 4x
O conteúdo envolvido é inequação racional. Para resolver, vamos:
  1. Determinar o domínio (a expressão existe se xneq 0).
  2. Colocar tudo em um único quociente.
  3. Analisar o sinal desse quociente em cada intervalo determinado pelos zeros do numerador e denominador.

Passo 2

Subtraindo 1 e tfrac4x de ambos os lados, obtemos
x2 - 1 - 4x < 0

Passo 3

Colocando em único denominador 2x, temos
x^2 - 2x - 82x < 0

Passo 4

Fatorando o numerador:
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2),
logo a inequação fica
(x - 4)(x + 2)2x < 0

Passo 5

Os pontos que anulam numerador ou denominador são x=-2, x=0 e x=4. Eles particionam a reta real em quatro intervalos. Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante.

Passo 6

Testando um valor de x em cada intervalo:
  • Se x< -2, então x-4>0, x+2<0, 2x<0, logo o quociente é negativo.
  • Se -2<x<0, então x-4<0, x+2>0, 2x<0, logo o quociente é positivo.
  • Se 0<x<4, então x-4<0, x+2>0, 2x>0, logo o quociente é negativo.
  • Se x>4, então x-4>0, x+2>0, 2x>0, logo o quociente é positivo.
Como queremos (x - 4)(x + 2)2x<0 e não podemos ter x=-2,0,4, a solução reúne os intervalos onde o quociente é negativo.

Resposta

(-infty, -2);cup;(0,4)

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