(2,00 pontos) Utilizando o método de integração de funções racionais por frações parciais, resolva: I=integral x^5-x^4+4 x^3-4 x^2+8 x-4(x^2+2)^3 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral x^5-x^4+4x^3-4x^2+8x-4(x^2+2)^3 ,dx
usando o método de frações parciais. Aqui temos uma função racional cujo denominador é a potência de um polinômio irreduzível de segundo grau, então vamos decompor em termos da forma
Ax+Bx^2+2, Cx+D(x^2+2)^2 e Ex+F(x^2+2)^3.

Passo 2

Propomos a decomposição
x^5-x^4+4x^3-4x^2+8x-4(x^2+2)^3 = Ax+Bx^2+2 ;+;Cx+D(x^2+2)^2;+;Ex+F(x^2+2)^3
Multiplicando ambos os lados por (x^2+2)^3, obtemos
x^5-x^4+4x^3-4x^2+8x-4 =(Ax+B)(x^2+2)^2+(Cx+D)(x^2+2)+(Ex+F)

Passo 3

Expandindo termos:
(Ax+B)(x^4+4x^2+4)=Ax^5+Bx^4+4Ax^3+4Bx^2+4Ax+4B,
(Cx+D)(x^2+2)=Cx^3+Dx^2+2Cx+2D,
e ficando
x^5-x^4+4x^3-4x^2+8x-4 =Ax^5 + Bx^4 + (4A+C)x^3 + (4B+D)x^2 + (4A+2C+E)x + (4B+2D+F)
Agora igualamos coeficientes de cada potência de x.

Passo 4

Igualando coeficientes, obtemos o sistema
A = 1, B = -1, 4A + C = 4, 4B + D = -4, 4A + 2C + E = 8, 4B + 2D + F = -4
Substituindo A=1 e B=-1 nas demais equações, achamos
C=0, D=0, E=4, F=0
Logo a decomposição fica
x^5-x^4+4x^3-4x^2+8x-4(x^2+2)^3 =x-1x^2+2+4x(x^2+2)^3

Passo 5

Escrevendo a integral como soma de termos mais simples:
I =integralx-1x^2+2,dx +integral4x(x^2+2)^3,dx =integralxx^2+2,dx -integral1x^2+2,dx +integral4x(x^2+2)^3,dx

Passo 6

Calculamos cada parte:
  1. integralxx^2+2,dx.
    Colocamos u=x^2+2, du=2x,dx, então
    integralxx^2+2,dx =12integralduu =12lnl(x^2+2r)
  2. -integral1x^2+2,dx.
    Sabemos que integral1x^2+a^2dx=1aarctan!xa. Aqui a=raiz2, logo
    -integral1x^2+2,dx =-1raiz2arctan!l(xraiz2r)
  3. integral4x(x^2+2)^3,dx.
    Outra vez u=x^2+2, du=2x,dx daí 4x,dx=2,du, então
    integral4x(x^2+2)^3,dx =2integral u^-3,du =2cdotu^-2-2 =-u^-2 =-1(x^2+2)^2

Passo 7

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
I =12lnl(x^2+2r) -1raiz2arctan!l(xraiz2r) -1(x^2+2)^2 + C

Resposta

boxedI =12lnl(x^2+2r) -1raiz2arctan!l(xraiz2r) -1(x^2+2)^2 + C

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