Ache o conjunto solução das seguintes inequações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Estamos lidando com inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o valor absoluto e como manipular essas expressões. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número é a distância desse número até zero na reta numérica, ou seja,
é sempre positivo ou zero. Então,
é a distância de
até 2, e
é a distância de
até 0.
Passo 3
Para resolver a inequação
, vamos considerar duas situações baseadas no sinal de
:
- Quando
- Quando
Passo 4
Caso 1:
Nessa situação,
. A inequação fica:
Agora, vamos considerar duas sub-situações dentro desse caso, dependendo de
ser positivo ou negativo.
-
Subcaso 1.1:
(ou seja, ) Aqui,, então a inequação fica:
Resolvendo:
Mas lembrando que estamos considerando
, então essa solução é válida para
.
-
Subcaso 1.2:
(ou seja, ) Aqui,, então a inequação fica:
Resolvendo:
Como estamos considerando
e
, a solução aqui é
.
Resumindo o Caso 1: A solução é
.
Passo 5
Caso 2:
Nessa situação,
. A inequação fica:
Observamos que o lado direito,
, é positivo porque
é negativo. Então, podemos novamente considerar duas sub-situações:
-
Subcaso 2.1:
, mas isso implica , o que não é possível já que estamos considerando . Portanto, não há solução nesse subcaso. -
Subcaso 2.2:
(ou seja, ) Aqui,, então a inequação fica:
Resolvendo:
Como estamos considerando
, a solução aqui é
.
Resumindo o Caso 2: A solução é
.
Resposta
O conjunto solução da inequação
é
ou
.