Ache o conjunto solução das seguintes inequações:
|x-2| <= 3|x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação |x-2| <= 3|x|. Estamos lidando com inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o valor absoluto e como manipular essas expressões. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número é a distância desse número até zero na reta numérica, ou seja, |a| é sempre positivo ou zero. Então, |x-2| é a distância de x até 2, e |x| é a distância de x até 0.

Passo 3

Para resolver a inequação |x-2| <= 3|x|, vamos considerar duas situações baseadas no sinal de x:
  1. Quando x >= 0
  2. Quando x < 0

Passo 4

Caso 1: x >= 0
Nessa situação, |x| = x. A inequação fica:
|x - 2| <= 3x
Agora, vamos considerar duas sub-situações dentro desse caso, dependendo de x - 2 ser positivo ou negativo.
  • Subcaso 1.1: x - 2 >= 0 (ou seja, x >= 2)
    Aqui, |x - 2| = x - 2, então a inequação fica:
x - 2 <= 3x
Resolvendo:
x - 2 <= 3x
-2 <= 2x
x >= -1
Mas lembrando que estamos considerando x >= 2, então essa solução é válida para x >= 2.
  • Subcaso 1.2: x - 2 < 0 (ou seja, x < 2)
    Aqui, |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x, então a inequação fica:
2 - x <= 3x
Resolvendo:
2 <= 4x
x >= 12
Como estamos considerando x >= 0 e x < 2, a solução aqui é 12 <= x < 2.
Resumindo o Caso 1: A solução é x >= 12.

Passo 5

Caso 2: x < 0
Nessa situação, |x| = -x. A inequação fica:
|x - 2| <= 3(-x)
|x - 2| <= -3x
Observamos que o lado direito, -3x, é positivo porque x é negativo. Então, podemos novamente considerar duas sub-situações:
  • Subcaso 2.1: x - 2 >= 0, mas isso implica x >= 2, o que não é possível já que estamos considerando x < 0. Portanto, não há solução nesse subcaso.
  • Subcaso 2.2: x - 2 < 0 (ou seja, x < 2)
    Aqui, |x - 2| = 2 - x, então a inequação fica:
2 - x <= -3x
Resolvendo:
2 <= -2x
-1 >= x
Como estamos considerando x < 0, a solução aqui é x <= -1.
Resumindo o Caso 2: A solução é x <= -1.

Resposta

O conjunto solução da inequação |x-2| <= 3|x| é x <= -1 ou x >= 12.

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