(2,00 pontos) Calcule, usando o método de integração de funções racionais de seno e cosseno:
I=integral d xsen x+cos x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função racional que envolve seno e cosseno:
I = integral dxsin x + cos x + 2
Vamos usar técnicas de integração para funções racionais de seno e cosseno. Para isso, vamos precisar transformar essa expressão de uma forma que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar o denominador. Uma boa estratégia é usar a substituição t = tan(x2) . Com isso, lembramos das identidades:
sin x = 2t1 + t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2 dt1 + t^2

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral, temos:
I = integral 2 dt1 + t^22t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2 + 2

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
2t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2 + 2 = 2t + 1 - t^2 + 2(1 + t^2)1 + t^2 = 2t + 3 + t^21 + t^2

Passo 5

A integral agora fica:
I = integral 2 dt2t + 3 + t^2
Vamos reorganizar o denominador para facilitar a integração:
t^2 + 2t + 3 = (t + 1)^2 + 2

Passo 6

Agora, a integral fica:
I = integral 2 dt(t + 1)^2 + 2
Essa é uma forma padrão de integral que podemos resolver usando a fórmula:
integral dxx^2 + a^2 = 1a tan^-1(xa) + C

Passo 7

Aplicando a fórmula, temos:
I = 2 cdot 1raiz2 tan^-1(t + 1raiz2) + C = raiz2 tan^-1(t + 1raiz2) + C

Passo 8

Por fim, lembrando que t = tan(x2) , substituímos de volta:
I = raiz2 tan^-1(tan(x2) + 1raiz2) + C

Resposta

A integral é igual a:
I = raiz2 tan^-1(tan(x2) + 1raiz2) + C

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