pontos) Calcule, usando o método de integração de funções racionais de seno e cosseno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função racional que envolve seno e cosseno:
Vamos usar técnicas de integração para funções racionais de seno e cosseno. Para isso, vamos precisar transformar essa expressão de uma forma que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar o denominador. Uma boa estratégia é usar a substituição
. Com isso, lembramos das identidades:
Passo 3
Substituindo essas expressões na integral, temos:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Passo 5
A integral agora fica:
Vamos reorganizar o denominador para facilitar a integração:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Essa é uma forma padrão de integral que podemos resolver usando a fórmula:
Passo 7
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 8
Por fim, lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a: