Ache o conjunto solução das seguintes inequações:
|x^2+4 x+5|<1-|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
l|x^2+4x+5r| < 1 - l|x-1r|
O conteúdo é inequações com valor absoluto duplo. Para resolver, vamos primeiro identificar quando o lado direito é não‐negativo (pois o lado esquerdo é sempre >=0), ou seja, precisamos de
1 - l|x-1r| > 0

Passo 2

Resolver 1 - l|x-1r|>0
l|x-1r| < 1 Longrightarrow 0 < x < 2
Logo, fora do intervalo (0,2) o lado direito é <=0 enquanto l|x^2+4x+5r|>=0, de modo que a inequação não poderia ocorrer. Assim ficamos somente com xin(0,2).

Passo 3

No intervalo (0,2) avaliamos o lado esquerdo. Note que
x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1 >= 1,
com estrita desigualdade para todo xneq -2. Como -2notin(0,2), temos
l|x^2+4x+5r| = x^2+4x+5 > 1

Passo 4

No mesmo intervalo (0,2), o máximo de 1 - l|x-1r| ocorre em x=1 e vale
1 - l|1-1r| = 1
Para xneq1 fica estritamente menor que 1. Então em toda (0,2) temos
l|x^2+4x+5r| > 1 e 1 - l|x-1r| <= 1,
logo nunca ocorre
l|x^2+4x+5r| < 1 - l|x-1r|

Resposta

O conjunto solução é o conjunto vazio: varnothing.

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