(2,00 pontos) Calcule, usando o método de integração de funções racionais de seno e cosseno:
I=integral sen x1+sen x d x.

Passo 1

O enunciado pede
I = integral sen x1+sen x,dx
usando o método de funções racionais de sen x e cos x. Vamos transformar a fração numa soma de termos mais simples em sen x e cos x antes de integrar.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por 1-sen x para usar 1-sen^2x=cos^2x:
sen x1+sen x = sen x,(1-sen x)(1+sen x),(1-sen x) = sen x - sen^2 xcos^2 x = sen xcos^2 x ;-;sen^2 xcos^2 x

Passo 3

Reconhecemos cada parte como derivada ou expressão conhecida:
sen xcos^2 x = tan xsec x é ddx(sec x), é
e
sen^2 xcos^2 x = tan^2 x = sec^2 x - 1

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral sen xcos^2 x,dx = integral tan xsec x,dx = sec x + C1,
integral tan^2 x,dx = integral(sec^2 x -1),dx = tan x - x + C2
Logo,
I = integrall(tan xsec x - tan^2 xr),dx = sec x - (tan x - x) + C = x + sec x - tan x + C

Resposta

I = x + sec x - tan x + C

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