Dados dois números reais positivos
e
com
. Mostre que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, em outras palavras, mostre que:
Mostre que a igualdade no resultado anterior vale se e somente se
. Além disso, tem-se a seguinte relação:
Passo 1
O enunciado pede para dois reais positivos
e
com
que mostremos
- a desigualdade da média aritmética maior ou igual à média geométrica, isto é
- que a igualdade ocorre se, e somente se,
, - e ainda a cadeia
Vamos usar o fato de que o quadrado de um real é não–negativo e as propriedades de monotonicidade da multiplicação e da raiz quadrada.
Passo 2
Como todo quadrado é não–negativo, temos
Expandindo esse quadrado,
Rearranjando vem
o que prova a desigualdade entre média aritmética e média geométrica.
Passo 3
Observamos que
se, e somente se,
, ou seja, se, e somente se,
. Logo, a igualdade em
vale exatamente quando
.
Passo 4
Para mostrar
, usamos que
e
. Multiplicando a desigualdade
por
obtemos
Como a função
é crescente em
, segue
Passo 5
Para mostrar
, partimos de
e somamos
aos dois lados:
Passo 6
Reunindo os resultados dos Passos 4, 2 e 5, concluímos a cadeia completa
Resposta
A desigualdade da média aritmética e geométrica para
com
é
com igualdade se, e somente se,
. Além disso, vale