Dados dois números reais positivos a e b com a <= b. Mostre que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, em outras palavras, mostre que:
a+b2 >= raiza cdot b
Mostre que a igualdade no resultado anterior vale se e somente se a=b. Além disso, tem-se a seguinte relação:
a <= raiza cdot b <= a+b2 <= b

Passo 1

O enunciado pede para dois reais positivos a e b com a<= b que mostremos
  1. a desigualdade da média aritmética maior ou igual à média geométrica, isto é
a+b2>=raizab,
  1. que a igualdade ocorre se, e somente se, a=b,
  2. e ainda a cadeia
a<=raizab<=a+b2<= b
Vamos usar o fato de que o quadrado de um real é não–negativo e as propriedades de monotonicidade da multiplicação e da raiz quadrada.

Passo 2

Como todo quadrado é não–negativo, temos
(raiza-raizb)^2>= 0
Expandindo esse quadrado,
(raiza-raizb)^2 = a + b - 2raizab>= 0
Rearranjando vem
a+b >= 2raizab Longrightarrow a+b2>=raizab,
o que prova a desigualdade entre média aritmética e média geométrica.

Passo 3

Observamos que
(raiza-raizb)^2=0
se, e somente se, raiza=raizb, ou seja, se, e somente se, a=b. Logo, a igualdade em
a+b2>=raizab vale exatamente quando a=b.

Passo 4

Para mostrar a<=raizab, usamos que a<= b e a>=0. Multiplicando a desigualdade a<= b por a>=0 obtemos
a^2 <= ab
Como a função xmapstoraizx é crescente em [0,infty), segue
raiza^2<=raizab Longrightarrow a<=raizab

Passo 5

Para mostrar a+b2<= b, partimos de a<= b e somamos b aos dois lados:
a + b <= b + b = 2b Longrightarrow a+b2<= b

Passo 6

Reunindo os resultados dos Passos 4, 2 e 5, concluímos a cadeia completa
a <= raizab <= a+b2 <= b

Resposta

A desigualdade da média aritmética e geométrica para a,b>0 com a<= b é
a+b2>=raizab,
com igualdade se, e somente se, a=b. Além disso, vale
a <= raizab <= a+b2 <= b

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