Ache o conjunto-solução dos sistemas lineares abaixo e classifique-os com respeito à existência e número de soluções.
(f) lx+2 y+z=0 -x+4 y+3 z+2 w=0 3 y+2 z+w=0 2 x+y-w=0

Passo 1

O sistema é de quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w. Para resolver, vamos montar a matriz ampliada e aplicar o método da eliminação de Gauss, o que nos permitirá achar o posto da matriz de coeficientes, parametrizar as soluções e, por fim, classificar o sistema quanto à existência e número de soluções.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema:
1 & 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 4 & 3 & 2 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 0 & -1 & 0
Eliminando x nas linhas 2 e 4 por
R2R2+R1
e
R4R4-2R1,
obtemos
1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 6 & 4 & 2 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & 0 0 & -3 & -2 & -1 & 0

Passo 3

Para criar o pivô em y, dividimos R2 por 2, ficando (0;3;2;1;0). Em seguida aplicamos
R3R3-R2
e
R4R4+R2.
As linhas 3 e 4 tornam-se nulas, restando apenas
1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & 0
Logo, o posto da matriz de coeficientes é 2.

Passo 4

Das duas linhas não nulas tiramos as equações pivotais:
x + 2y + z = 0, 3y + 2z + w = 0
Temos 4 incógnitas e 2 equações independentes, logo 2 graus de liberdade. Definimos
y = s, z = t,
e obtemos
x = -2s - t, w = -3s - 2t

Passo 5

O conjunto-solução em função dos parâmetros s,tinR é
(-2s - t,;s,;t,;-3s - 2t)mid s,tinR
Como há infinitas soluções (dois parâmetros livres), o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

(-2s - t,;s,;t,;-3s - 2t)mid s,tinR, compatível indeterminado (infinitas soluções).

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