e o conteúdo aqui é discutir soluções segundo a invertibilidade da matriz de coeficientes. Em sistemas homogêneos, se a matriz é invertível (detneq0) só rola a solução trivial, senão (det=0) aparece solução não trivial em dimensão maior que zero.
Passo 2
Vamos montar a matriz de coeficientes
A = 1 & 4 & -5 2 & -1 & 3 3 & a & 2
e calcular seu determinante para ver quando ela é invertível.
Passo 3
Calculando det A por expansão na primeira linha:
det A =1cdotl((-1)cdot2 - 3,ar) -4cdotl(2cdot2 - 3cdot3r) +(-5)cdotl(2,a - (-1)cdot3r)
Isso dá
det A = -(2 + 3a) -4,(4-9) -5,(2a+3) = -2 -3a +20 -10a -15 = -13a +3
Passo 4
Como o sistema é homogêneo:
Se det Aneq0, ou seja -13a +3neq0Long<=ftrightarrow aneq 313, então A é invertível e a única solução é a trivial (x,y,z)=(0,0,0).
Se det A=0, ou seja a = 313, então rank(A)=2<3 e o espaço de soluções tem dimensão 3-2=1, ou seja aparece uma família infinita de soluções não triviais.
Resposta
Para a neq tfrac313: única solução (0,0,0).
Para a = tfrac313: infinitas soluções não triviais.