Discutas as possibilidades segundo o valor de a :
x+4 y-5 z & =0 2 x-y+3 z & =0 3 x+a y+2 z & =0

Passo 1

Beleza, temos o sistema homogêneo
x + 4y - 5z = 0, 2x - y + 3z = 0, 3x + a,y + 2z = 0,
e o conteúdo aqui é discutir soluções segundo a invertibilidade da matriz de coeficientes. Em sistemas homogêneos, se a matriz é invertível ( detneq0) só rola a solução trivial, senão ( det=0) aparece solução não trivial em dimensão maior que zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes
A = 1 & 4 & -5 2 & -1 & 3 3 & a & 2
e calcular seu determinante para ver quando ela é invertível.

Passo 3

Calculando det A por expansão na primeira linha:
det A =1cdotl((-1)cdot2 - 3,ar) -4cdotl(2cdot2 - 3cdot3r) +(-5)cdotl(2,a - (-1)cdot3r)
Isso dá
det A = -(2 + 3a) -4,(4-9) -5,(2a+3) = -2 -3a +20 -10a -15 = -13a +3

Passo 4

Como o sistema é homogêneo:
  • Se det Aneq0, ou seja -13a +3neq0Long<=ftrightarrow aneq 313, então A é invertível e a única solução é a trivial (x,y,z)=(0,0,0).
  • Se det A=0, ou seja a = 313, então rank(A)=2<3 e o espaço de soluções tem dimensão 3-2=1, ou seja aparece uma família infinita de soluções não triviais.

Resposta

Para a neq tfrac313: única solução (0,0,0).
Para a = tfrac313: infinitas soluções não triviais.

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