Ache o conjunto-solução dos sistemas lineares abaixo e classifique-os com respeito à existência e número de soluções.
(e) rlrl3 y+2 z+2 w+3 v & =0 -x+2 y & +7 w+3 v & =0 2 x-y+2 z & & =0 x+y+2 z & -7 w & +v & =0 6 y+4 z & +2 w & -v & =0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto-solução e a classificação (existência e número de soluções) do sistema linear em cinco equações e cinco incógnitas : \r
O método escolhido será a eliminação de Gauss para encontrar as variáveis livres e dependentes, depois expressamos a solução em forma paramétrica e classificamos o sistema.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial (augmentada) com a ordem (x,y,z,w,v) e, para facilitar, trocamos a primeira linha pela terceira (que tem coeficiente não nulo em x): \r
2 & -1 & 2 & 0 & 0 &|;0 -1& 2 & 0 & 7 & 3 &|;0 0 & 3 & 2 & 2 & 3 &|;0 1 & 1 & 2 & -7 & 1 &|;0 0 & 6 & 4 & 2 & -1 &|;0

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 e 4 usando a linha 1 como pivô. Após as operações obtemos\r
2 & -1 & 2 & 0 & 0 &|;0 0 & 3/2 & 1 & 7 & 3 &|;0 0 & 3 & 2 & 2 & 3 &|;0 0 & 3/2 & 1 & -7 & 1 &|;0 0 & 6 & 4 & 2 & -1 &|;0

Passo 4

Normalizamos a segunda linha dividindo por 3/2, e depois eliminamos y das linhas 3, 4 e 5. Ficamos com\r
2 & -1 & 2 & 0 & 0 &|;0 0 & 1 & tfrac23 & tfrac143 & 2 &|;0 0 & 0 & 0 & -12 & -3 &|;0 0 & 0 & 0 & -14 & -2 &|;0 0 & 0 & 0 & -26 & -13 &|;0

Passo 5

Das três últimas linhas tiramos as equações\r
-12w-3v=0, -14w-2v=0, -26w-13v=0 \r
A primeira dá v=-4w. Substituindo na segunda: -14w-2(-4w)=-6w=0implies w=0, e daí v=0.

Passo 6

Com w=v=0, a segunda linha reduz-se a\r
y+tfrac23z=0;Longrightarrow;y=-tfrac23z, \r
e a primeira a\r
2x - y +2z=0 ;Longrightarrow; 2x +tfrac23z+2z=0 ;Longrightarrow; x=-tfrac43z \r
Tomamos z como parâmetro livre, digamos z=3s com sinR, de modo a evitar frações na forma final.

Resposta

A solução geral é\r
(x,y,z,w,v) =( -4s,-2s,3s,0,0 ), sinR \r
O sistema é compatível não-determinado, com infinitas soluções formando uma reta (dimensão do espaço-solução igual a 1).

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