3 - Calcule o determinante das matrizes abaixo e decida quais são inversíveis.
M=(rrr 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) P=(rr 2 & -1 8 & -4 ) U=(rrr 1 & 0 & 2 0 & 2 & 1 1 & 0 & -3 ) V=(rrrr 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de quatro matrizes MinR^3times3, PinR^2times2, UinR^3times3 e VinR^4times4, e então decidir quais delas são invertíveis. Lembrando que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

A matriz
M = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
é triangular superior, então seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(M) = 1 cdot 1 cdot 1 = 1

Passo 3

A matriz
P = 2 & -1 8 & -4
é 2times2, então
det(P) = 2cdot(-4) - (-1)cdot8 = -8 - (-8) = 0

Passo 4

Para
U = 1 & 0 & 2 0 & 2 & 1 1 & 0 & -3
usamos expansão pela primeira linha:
det(U) = 1cdotdet2&10&-3 -0cdotl|cdotsr| +2cdotdet0&21&0
Calculando os menores:
det2&10&-3=2cdot(-3)-1cdot0=-6, det0&21&0=0cdot0-2cdot1=-2
Logo
det(U) = 1cdot(-6) + 2cdot(-2) = -6 -4 = -10

Passo 5

Para
V = 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1& 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0
expandimos pela primeira coluna (só o elemento v21=1 contribui):
det(V) = (-1)^2+1cdot1cdot det 4 & 0 & 2 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0 = -,det(A),
onde
A = 4 & 0 & 2 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0
Agora
det(A) =4det1&23&0 -0cdotl|cdotsr| +2det2&13&3 =4(1cdot0-2cdot3)+2(2cdot3-1cdot3) =-24+6=-18
Portanto
det(V) = -(-18) = 18

Passo 6

Concluímos que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Resposta

det(M)=1, logo M é invertível.
det(P)=0, logo P não é invertível.
det(U)=-10, logo U é invertível.
det(V)=18, logo V é invertível.

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