Dados os vetores u=(1,-3,1) e v=(-3,3,3), calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec u=(1,-3,1) e vec v=(-3,3,3) em R^3 e pede a área do paralelogramo que eles determinam.
Conteúdo necessário: produto vetorial vec utimesvec v e norma de vetor. A fórmula que vamos usar é
área = |vec utimesvec v| á

Passo 2

Calculamos o produto vetorial usando a definição em componentes:
vec utimesvec v =l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r)
Substituindo u1=1, u2=-3, u3=1 e v1=-3, v2=3, v3=3, obtemos
vec utimesvec v =l((-3)cdot3 - 1cdot3,;1cdot(-3) - 1cdot3,;1cdot3 - (-3)cdot(-3)r) =(-12,-6,-6)

Passo 3

Agora calculamos a norma de vec utimesvec v=(-12,-6,-6):
|vec utimesvec v| =raiz(-12)^2+(-6)^2+(-6)^2 =raiz144+36+36 =raiz216 =6raiz6

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores é 6raiz6.

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