(a) Ache constantes alpha, beta in R tais que integralgamma F cdot d r=0 para toda curva C^1 fechada simples contida em R^2, em que F: R^2 R^2 é dado por
F(x, y)=(y^2+alpha y cos (x y)+2 x, beta x y+3 x cos (x y)+2 y)
(resp.: alpha=3 e beta=2.)
(b) Para alpha e beta encontrados no item (a), calcule integralgamma F cdot d r, em que gamma é a parte da parábola y=pi2 x^2, onde x vai de 0 até 1 . (resp.: pi^24+4.)

Passo 1

O enunciado pede em (a) encontrar alpha,betainR tais que
ointgammaFcdot dr=0
para toda curva fechada C^1 simples em R^2. Isso equivale a exigir que o campo vetorial
F(x,y)=(P,Q)=l(y^2+alpha ycos(xy)+2x,;beta x y+3xcos(xy)+2yr)
seja conservativo, ou seja, satisfaça
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Em (b), com esses valores de alpha,beta, devemos calcular
integralgammaFcdot dr
ao longo da curva aberta gammacolon x=t,;y=tfracpi2,t^2,;tin[0,1].

Passo 2

Calculemos primeiro
e
Igualando termos semelhantes em
Logo .

Passo 3

Como para alpha=3,;beta=2 o campo é conservativo, existe potencial f tal que
nabla f=(P,Q). Integramos primeiro
partial fpartial x =P=y^2+3ycos(xy)+2x
em x, tratando y como constante:
f(x,y) =integrall(y^2+3ycos(xy)+2xr),dx =x y^2+3yintegralcos(xy),dx+x^2+h(y) =x y^2+3sin(xy)+x^2+h(y)

Passo 4

Para ajustar h(y), impomos
partial fpartial y =2xy+3xcos(xy)+h'(y) overset!=Q=2xy+3xcos(xy)+2y ;Longrightarrow;h'(y)=2y;Longrightarrow;h(y)=y^2
Assim
f(x,y)=x^2+x y^2+3sin(xy)+y^2
é um potencial de F.

Passo 5

A integral ao longo de gamma de (0,0) a l(1,tfracpi2r) é
integralgammaFcdot dr =f!l(1,tfracpi2r)-f(0,0) =l[1^2+1cdotl(tfracpi2r)^2+3sinl(tfracpi2r)+l(tfracpi2r)^2r]-0 =1+tfracpi^24+3+tfracpi^24 =4+pi^22

Resposta

(a) alpha=3, beta=2.
(b) integralgammaFcdot dr=4+pi^22

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