(a) Ache constantes
tais que
para toda curva
fechada simples contida em
, em que
é dado por
(resp.:
e
.)
(b) Para
e
encontrados no item (a), calcule
, em que
é a parte da parábola
, onde
vai de 0 até 1 . (resp.:
.)
(b) Para
Passo 1
O enunciado pede em (a) encontrar
tais que
para toda curva fechada
simples em
. Isso equivale a exigir que o campo vetorial
seja conservativo, ou seja, satisfaça
Em (b), com esses valores de
, devemos calcular
ao longo da curva aberta .
ao longo da curva aberta
Passo 2
Calculemos primeiro
e
Igualando termos semelhantes em
Logo .
Passo 3
Como para
o campo é conservativo, existe potencial
tal que
. Integramos primeiro
em
, tratando
como constante:
Passo 4
Para ajustar
, impomos
Assim
é um potencial de
.
Passo 5
A integral ao longo de
de
a
é
Resposta
(a)
,
.
(b)
(b)