cos x d x+(1+2y) sin x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
cos x,dx + l(1 + 2yr)sin x,dy = 0
e pede sua solução geral. O conteúdo aqui é encontrar um fator integrante que torne a equação exata e depois resolver por potencial.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata: definimos
M(x,y) = cos x, N(x,y) = l(1 + 2yr)sin x
Calculamos
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = l(1 + tfrac2yr)cos x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu que dependa só de y. Usamos a fórmula
partial Npartial x - partial Mpartial yM = l(1 + tfrac2yr)cos x - 0cos x = 1 + 2y = f(y)
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mu(y) = exp!l(integral f(y),dyr) = exp!l(integral l(1 + 2yr)dyr) = exp!l(y + 2ln yr) = e^y,y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=e^yy^2, obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
com
M^* = e^yy^2cos x, N^* = e^yy^2l(1+tfrac2yr)sin x = e^yy(y+2)sin x
Verificamos exatidão:
partial M^*partial y = e^ycos x,(y^2+2y), partial N^*partial x = e^yy(y+2)cos x,
como y^2+2y = y(y+2), a equação ficou exata.

Passo 5

Existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^* e partial Psipartial y = N^*
Integramos M^* em relação a x:
Psi(x,y) = integral e^yy^2cos x,dx = e^yy^2sin x + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Diferenciando em y:
partial Psipartial y = e^yy^2sin x + e^y2ysin x + h'(y) = e^ysin x,(y^2+2y) + h'(y)
Para bater com N^*, precisamos de h'(y)=0, ou seja h constante.

Passo 6

Assim a solução implícita é
Psi(x,y) = e^yy^2sin x = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^yy^2sin x = C

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