Seja
a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência centrada na origem e raio 1 e pela elipse
. Considere o segmento
do eixo coordenado
ligando os pontos
e
e seja
a curva tal que a fronteira de
seja
orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral
(resp.:
.)
Passo 1
O enunciado pede a linha integral
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência
e pela elipse
. A fronteira de
é
orientada no sentido anti-horário, sendo
o segmento de eixo
de
a
e
o restante da curva fechada. Vamos usar o Teorema de Green para relacionar essa integral de linha a uma integral dupla sobre
.
Passo 2
Seja
Pelo Teorema de Green,
Calculamos
logo
Passo 3
Como o integrando é constante
,
A área de
é a diferença entre a área da elipse e a da circunferência, restrita ao primeiro quadrante:
então
Assim
Passo 4
Para obter
, subtraímos o trecho sobre
. Em
temos
,
vai de
a
(orientação descendente) e
,
. Logo
Passo 5
Como
segue