Seja R a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência centrada na origem e raio 1 e pela elipse x^29+y^24=1. Considere o segmento C1 do eixo coordenado y ligando os pontos (0,2) e (0,1) e seja C2 a curva tal que a fronteira de R seja C1 cup C2 orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral
integralC2(arctg raizx+2 x y) d x+(e^y+x^2+2 x) d y
(resp.: 5 pi2+e^2-e.)

Passo 1

O enunciado pede a linha integral
integralC2l(arctanraizx+2xyr),dx+l(e^y+x^2+2xr),dy
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x^2+y^2=1 e pela elipse tfracx^29+tfracy^24=1. A fronteira de R é C1cup C2 orientada no sentido anti-horário, sendo C1 o segmento de eixo y de (0,2) a (0,1) e C2 o restante da curva fechada. Vamos usar o Teorema de Green para relacionar essa integral de linha a uma integral dupla sobre R.

Passo 2

Seja
P(x,y)=arctanraizx+2xy, Q(x,y)=e^y+x^2+2x
Pelo Teorema de Green,
ointC1cup C2P,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos
partial Qpartial x=2x+2, partial Ppartial y=2x,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =(2x+2)-2x=2

Passo 3

Como o integrando é constante 2,
ointC1cup C2P,dx+Q,dy =2integral duplaRdA =2;Area(R)
A área de R é a diferença entre a área da elipse e a da circunferência, restrita ao primeiro quadrante:
Area(elipse)=picdot3cdot2=6pi, Area(círculo)=picdot1^2=pi, í
então
Area(R)=6pi-pi4=5pi4
Assim
ointC1cup C2P,dx+Q,dy =2cdot5pi4=5pi2

Passo 4

Para obter integralC2P,dx+Q,dy, subtraímos o trecho sobre C1. Em C1 temos x=0, y vai de 2 a 1 (orientação descendente) e dx=0, dyneq0. Logo
integralC1P,dx+Q,dy =integraly=2^1Q(0,y),dy =integral2^1e^y,dy =e^y|2^1 =e - e^2

Passo 5

Como
ointC1cup C2=integralC1+integralC2 =5pi2,
segue
integralC2P,dx+Q,dy =5pi2-l(e-e^2r) =5pi2+e^2-e

Resposta

5pi2+e^2-e

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