Encontre o domínio da função.
phi(x)=raizx^2-2 xx-1

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
phi(x)=raizx^2-2xx-1
Aqui o conteúdo é encontrar onde a expressão dentro da raiz quadrada é bem definida em R. Para isso precisamos garantir duas coisas simultaneamente:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. O radicando (a fração) deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Impondo que o denominador seja diferente de zero, temos
x-1 neq 0 Longrightarrow x neq 1

Passo 3

Agora, o radicando precisa satisfazer
x^2-2xx-1 >= 0
Fatoramos o numerador:
x^2-2x = x(x-2)
Então analisamos a desigualdade
x(x-2)x-1 >= 0,
com as raízes críticas em x=0, x=2 e x=1 (onde a fração fica indefinida).

Passo 4

Fazemos análise de sinais em cada intervalo determinado por 0,1,2:
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 tornam x(x-2)>0, mas x-1<0 faz a fração ser negativa.
  • Para 0<x<1: x>0, x-2<0 Rightarrow x(x-2)<0, e x-1<0 Rightarrow fração positiva.
  • Para 1<x<2: x>0, x-2<0 Rightarrow x(x-2)<0, e x-1>0 Rightarrow fração negativa.
  • Para x>2: x>0, x-2>0 Rightarrow x(x-2)>0, e x-1>0 Rightarrow fração positiva.
Além disso, em x=0 e x=2 a fração vale zero, o que torna o radicando igual a zero (permitido), e em x=1 a expressão é indefinida (proibido).

Passo 5

Dos testes de sinal, vemos que a fração é não negativa exatamente em
0 <= x < 1 ou x >= 2,
sempre excluindo x=1.

Resposta

O domínio de phi é
[0,1),cup,[2,infty)

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