Ache as curvas características planas das equações abaixo:
u_{x}+x u_{y}=x^{3}+3 x y

Passo 1

O enunciado pede as curvas características planas da PDE de primeira ordem
u_x + x\,u_y = x^3 + 3\,x\,y.
O conteúdo aqui é o método das características para PDEs de primeira ordem. Vamos precisar escrever o sistema de ODEs características
\frac{dx}{1} \;=\;\frac{dy}{x}\;=\;\frac{du}{x^3+3xy}
e, em particular, encontrar a relação entre x e y que define as curvas no plano (x,y).

Passo 2

Das duas primeiras frações do sistema temos
\frac{dy}{dx} \;=\; x.
Integramos essa ODE separável:
dy = x\,dx \;\implies\; \int dy = \int x\,dx \;\implies\; y = \tfrac{x^2}{2} + C,
onde C é constante de integração que caracteriza cada curva.

Passo 3

Concluímos, portanto, que as curvas características planas são dadas por
y - \tfrac{x^2}{2} = C,
ou seja, cada característica é a família de parábolas de vértice variável no plano (x,y).

Resposta

As curvas características planas são
y - \frac{x^2}{2} = \text{constante}.

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