Ache as curvas características planas das equações abaixo:
x^{2} u_{x}+y^{2} u_{y}=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a PDE de primeira ordem
x^{2}\,u_{x}+y^{2}\,u_{y}=x^{3},
e pede as curvas características no plano (x,y). Para isso usamos o método das características, em que definimos a família de equações paramétricas
\frac{dx}{ds}=x^{2},\quad \frac{dy}{ds}=y^{2},\quad \frac{du}{ds}=x^{3}.

Passo 2

Para obter as curvas no plano (x,y) eliminamos u e o parâmetro s, comparando as duas primeiras frações:
\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{y^{2}}.

Passo 3

Integramos a igualdade acima por separação de variáveis:
\int \frac{dx}{x^{2}}=\int \frac{dy}{y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{x}=-\,\frac{1}{y}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Reescrevendo a constante em cada membro, obtemos a relação que define as curvas características no plano:
\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=K,
com K constante.

Resposta

As curvas características planas são dadas por
\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=K,
onde K é constante.

Exercícios relacionados