Ache as curvas características planas das equações abaixo:
u_{x}+a \cos x u_{y}=\cos x+y \quad (a constante)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
u_{x} + a\cos x\,u_{y} = \cos x + y,
onde a é constante. Vamos usar o método das características, que transforma a PDE num sistema de equações ordinárias cujas soluções projetadas no plano (x,y) são as curvas características planas.

Passo 2

Escrevemos o sistema característico:
\frac{dx}{1} \;=\;\frac{dy}{a\cos x}\;=\;\frac{du}{\cos x + y}.
Para achar as curvas no plano (x,y) só precisamos da relação entre dx e dy.

Passo 3

Da igualdade
\frac{dy}{dx} = a\cos x
integramos em relação a x:
y = a\sin x + C,
onde C é constante ao longo de cada característica. Portanto, as curvas características planas são dadas por
y - a\sin x = \text{constante}.

Resposta

As curvas características planas são
y - a\sin x = \text{constante}.

Exercícios relacionados