Ache as curvas características planas das equações abaixo:
x^{2} u_{x}-x y u_{y}=2 x^{3}+x^{2} y+x^{2}+\frac{x^{3} y}{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a equação em derivadas parciais de primeira ordem
x^{2}\,u_{x}-x\,y\,u_{y}=2x^{3}+x^{2}y+x^{2}+\frac{x^{3}y}{x+1}
e pede só as curvas características planas, ou seja, a projeção das características no plano (x,y). Vamos usar o método das características, que começa montando o sistema
\frac{dx}{dt}=x^{2},\quad \frac{dy}{dt}=-x\,y,\quad \frac{du}{dt}=2x^{3}+x^{2}y+x^{2}+\frac{x^{3}y}{x+1}.

Passo 2

Para achar as curvas no plano (x,y) basta eliminar t entre as duas primeiras equações. Fazendo
\frac{dy}{dx} =\frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}} =\frac{-x\,y}{x^{2}} =-\frac{y}{x},
chegamos à equação ordinária
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}.

Passo 3

Integramos por separação de variáveis:
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{y}=-\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=-\ln|x|+C
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\ln|y|+\ln|x|=C \quad\Longrightarrow\quad \ln|x\,y|=C \quad\Longrightarrow\quad x\,y=K,
onde K=e^{C} é a constante da característica.

Resposta

As curvas características planas são dadas por
x\,y=\text{constante}.

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