Ache as curvas características planas das equações abaixo:
u_{x}-a u_{y}=e^{m x} \cos (b y) \quad(a, b, m constantes)

Passo 1

Temos a equação de primeira ordem
u_{x}-a\,u_{y}=e^{m x}\cos(b y),
onde a,b,m são constantes. Para achar as curvas características em (x,y) usamos o método das características: introduzimos um parâmetro s e escrevemos o sistema de Lagrange
\frac{dx}{1} \;=\;\frac{dy}{-a}\;=\;\frac{du}{e^{m x}\cos(b y)}.

Passo 2

Das duas primeiras razões obtemos a ODE para as curvas em (x,y):
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{-a}{1} \;=\;-a.

Passo 3

Integrando
\frac{dy}{dx}=-a
vem
y + a\,x = C,
onde C é constante ao longo de cada característica.

Resposta

As curvas características planas são as retas
y + a\,x = \text{constante}.

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