Ache as curvas características planas das equações abaixo:
5 u_{x}+4 u_{y}=x^{3}+1+2 e^{3 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação parcial de primeira ordem
5\,u_x + 4\,u_y = x^3 + 1 + 2e^{3y}.
Para achar as curvas características no plano (x,y), escrevemos o sistema
\frac{dx}{ds} = 5,\quad \frac{dy}{ds} = 4.

Passo 2

Igualando as duas frações obtemos
\frac{dx}{5} = \frac{dy}{4}.
Reescrevendo como diferencial exato e integrando:
4\,dx - 5\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \int(4\,dx - 5\,dy) = C \quad\Longrightarrow\quad 4x - 5y = C.

Resposta

4x - 5y = C,
ou, equivalentemente,
y = \frac{4}{5}\,x + C',
que é a família de retas características planas.

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