Dado o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle x^{2}, y^{2}, z^{2}\right\rangle,
seja S a superfície fechada da esfera de raio R=2 centrada na origem, orientada para fora. Calcule o fluxo de \mathbf{F} através da superfície S.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\langle x^{2},y^{2},z^{2}\rangle
e pede o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S que é a esfera de raio R=2 centrada na origem, orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência para converter o fluxo de superfície num integral de volume.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é o volume interno à esfera. Precisamos primeiro calcular a divergência de \mathbf{F}.

Passo 3

A divergência de \mathbf{F} é
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.

Passo 4

Portanto o fluxo vale
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV.
Como o volume V é uma esfera centrada na origem, por simetria temos
\iiint_{V}x\,dV =\iiint_{V}y\,dV =\iiint_{V}z\,dV=0.
Logo
\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV =2\bigl(\iiint_{V}x\,dV+\iiint_{V}y\,dV+\iiint_{V}z\,dV\bigr)=0.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 0.

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