Ache as curvas características planas das equações abaixo:
u_{x}-3 u_{y}=\operatorname{sen} x+\cos y

Passo 1

O enunciado pede as curvas características no plano xy para a equação de primeira ordem
u_{x}-3\,u_{y}=\operatorname{sen} x+\cos y.
O método de características associa a esta PDE o sistema de EDOs que relaciona \dif x, \dif y e \dif u.

Passo 2

Escrevemos o sistema característico:
\frac{\dif x}{1} \;=\;\frac{\dif y}{-3}\;=\;\frac{\dif u}{\operatorname{sen} x+\cos y}.
Para achar as curvas no plano xy basta considerar a igualdade entre \dif x e \dif y.

Passo 3

Da igualdade
\frac{\dif y}{\dif x}=-3
integramos ambos os lados:
\int \dif y = -3\int \dif x \quad\Longrightarrow\quad y=-3x+C.
Em outras palavras, as características no plano são retas.

Resposta

As curvas características planas são dadas por
y+3x=\text{constante}.

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