Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
x^{2}<2 x+8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2} < 2x + 8
Esse é um problema de inequação de segundo grau. Para resolver, vamos subtrair tudo para o lado esquerdo e estudar o sinal do polinômio resultante.

Passo 2

Transpondo todos os termos para o lado esquerdo, obtém-se
x^{2} - 2x - 8 < 0.

Passo 3

Para saber onde esse polinômio é negativo, primeiro encontramos suas raízes resolvendo
x^{2} - 2x - 8 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36,
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x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2},
que dá as raízes
x = 4 \quad\text{e}\quad x = -2.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o gráfico da função f(x)=x^{2}-2x-8 é uma parábola voltada para cima. Portanto, f(x)<0 entre as raízes. Assim, a solução da inequação é
-2 < x < 4.

Resposta

( -2,\,4 )

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