Um bloco de
está suspenso por uma mola, distendendo-a em
além de sua posição natural. O bloco é posto em movimento sem velocidade inicial, deslocando-o
para cima. Determine a função horária do movimento do bloco se o meio oferece uma resistência, em módulo, de
. Use
.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento. Temos
– Massa ,kg
– A extensão em equilíbrio é ,m tal que
– A resistência do meio é proporcional à velocidade: , ou seja, coeficiente de amortecimento
,
/m
– O bloco é deslocado ,m para cima a partir do equilíbrio, sem velocidade inicial
Conteúdo: equação diferencial linear de º ordem com amortecimento. Vamos medir
a partir da posição de equilíbrio, tomando
para baixo.
– Massa
– A extensão em equilíbrio é
– A resistência do meio é proporcional à velocidade:
– O bloco é deslocado
Conteúdo: equação diferencial linear de
Passo 2
Calculamos a constante da mola a partir de
A equação de movimento, somando forças (força elástica
força de amortecimento
inércia
), é
Dividindo por
:
pois
e
.
Passo 3
Verificamos o discriminante do polinômio característico
portanto o sistema está em amortecimento crítico. A solução geral é
onde
Passo 4
Impondo as condições iniciais:
– No repouso em o bloco foi deslocado
,m para cima, ou seja
.
– Velocidade inicial .
Daí
– No repouso em
– Velocidade inicial
Daí
Passo 5
Substituindo
e
na solução crítica:
Resposta
A função horária do movimento é
onde
é o deslocamento em metros medido a partir da posição de equilíbrio (positivo para baixo).