Um bloco de 7,5 \mathrm{Kg} está suspenso por uma mola, distendendo-a em 0,8 \mathrm{~m} além de sua posição natural. O bloco é posto em movimento sem velocidade inicial, deslocando-o 0,15 \mathrm{~m} para cima. Determine a função horária do movimento do bloco se o meio oferece uma resistência, em módulo, de 37,5 \sqrt{2}|\dot{x}| N. Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento. Temos
– Massa m=7,5,kg
– A extensão em equilíbrio é x_0=0,8,m tal que mg=kx_0
– A resistência do meio é proporcional à velocidade: \lvert F_{\rm res}\rvert=37,5\sqrt{2}\,\lvert \dot x\rvert, ou seja, coeficiente de amortecimento c=37,5\sqrt{2}, N\cdot s/m
– O bloco é deslocado 0,15,m para cima a partir do equilíbrio, sem velocidade inicial
Conteúdo: equação diferencial linear de 2º ordem com amortecimento. Vamos medir x(t) a partir da posição de equilíbrio, tomando x>0 para baixo.

Passo 2

Calculamos a constante da mola a partir de
mg=k\,x_0
k=\frac{m\,g}{x_0}=\frac{7,5\cdot10}{0,8}=93,75\\ \text{N/m}.
A equação de movimento, somando forças (força elástica + força de amortecimento + inércia =0), é
m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = 0.
Dividindo por m:
\ddot x + \frac{c}{m}\,\dot x + \frac{k}{m}\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + (5\sqrt2)\,\dot x + 12,5\,x = 0,
pois \tfrac{c}{m}=\tfrac{37,5\sqrt2}{7,5}=5\sqrt2 e \tfrac{k}{m}=\tfrac{93,75}{7,5}=12,5.

Passo 3

Verificamos o discriminante do polinômio característico
\Delta = (5\sqrt2)^2 - 4\cdot12,5 = 50 - 50 = 0,
portanto o sistema está em amortecimento crítico. A solução geral é
x(t) = \bigl(A + B\,t\bigr)\,e^{-\alpha t},
onde
\alpha = \frac{c}{2m} = \frac{5\sqrt2}{2}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
– No repouso em t=0 o bloco foi deslocado 0,15,m para cima, ou seja x(0)=-0,15.
– Velocidade inicial \dot x(0)=0.
Daí
x(0)=A=-0,15,
\dot x(t)=\bigl(B - \alpha(A + B\,t)\bigr)e^{-\alpha t} \quad\Longrightarrow\quad \dot x(0)=B - \alpha A = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \alpha\,A = -0,15\,\frac{5\sqrt2}{2} = -0,375\sqrt2.

Passo 5

Substituindo A e B na solução crítica:
x(t) =\bigl(-0,15 \;-\;0,375\sqrt2\,t\bigr)\, \exp\bigl(-\tfrac{5\sqrt2}{2}\,t\bigr).

Resposta

A função horária do movimento é
\boxed{ x(t) =\bigl(-0,15 \;-\;0,375\sqrt2\,t\bigr)\, \mathrm e^{-\tfrac{5\sqrt2}{2}\,t}, }
onde x é o deslocamento em metros medido a partir da posição de equilíbrio (positivo para baixo).

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