Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
e^(-x) i + 2 x j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as curvas integrais de um campo vetorial específico: . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde entendemos como os campos vetoriais se comportam através de suas curvas integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais, que nos ajudam a encontrar essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Uma curva integral de um campo vetorial é uma trajetória que segue as direções do campo em cada ponto. Matemáticamente, isso significa que a derivada da posição ao longo da curva é igual ao campo vetorial.
Então, se temos a curva , as derivadas em relação a devem satisfazer:

Passo 3

Agora, para encontrar a relação entre e sem depender de , podemos usar a regra da cadeia. Dividindo as duas equações:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona e .

Passo 4

Vamos então integrar ambos os lados para encontrar em termos de :
Agora, precisamos calcular a integral de em relação a .

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Simplificando a expressão encontrada:
Essa é a equação geral das curvas integrais do campo vetorial dado.

Resposta

As curvas integrais do campo vetorial são dadas por:
onde é uma constante qualquer.

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