Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=integral ln (1-x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir onde essa série converge (ou seja, para quais valores de ela funciona). Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a função ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn pode ser expressa como uma série de potências. Sabemos que para :
Essa é a expansão em série de Taylor para o logaritmo natural.

Passo 3

Agora, substituímos essa série na integral que temos:
f(x) = integral ln(1 - x)x , dx = integral -sumn=1^infty x^nn x , dx
Simplificando a fração:
f(x) = -integral sumn=1^infty x^n - 1n , dx

Passo 4

Vamos trocar a ordem da soma e da integral, o que é permitido dentro do raio de convergência:
f(x) = -sumn=1^infty 1n integral x^n - 1 , dx
Integrando integral x^n - 1 , dx = x^nn em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na soma:
f(x) = -sumn=1^infty 1n cdot x^nn = -sumn=1^infty x^nn^2
Então, a série de potências para f(x) = -sumn=1^infty x^nn^2 é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série limn to infty | x^n+1(n+1)^2x^nn^2 | = limn to infty | x cdot ( nn+1 )^2 | = |x| é uma série de potências e para encontrarmos seu intervalo de convergência usamos o teste da razão.
Aplicando o teste da razão:
Para que a série convirja, temos que .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
f(x) = -sumn=1^infty x^nn^2
E o intervalo de convergência dessa série é .

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