Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir onde essa série converge (ou seja, para quais valores de ela funciona). Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a função pode ser expressa como uma série de potências. Sabemos que para :
Essa é a expansão em série de Taylor para o logaritmo natural.
Passo 3
Agora, substituímos essa série na integral que temos:
Simplificando a fração:
Passo 4
Vamos trocar a ordem da soma e da integral, o que é permitido dentro do raio de convergência:
Integrando em relação a :
Passo 5
Substituindo de volta na soma:
Então, a série de potências para é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série é uma série de potências e para encontrarmos seu intervalo de convergência usamos o teste da razão.
Aplicando o teste da razão:
Para que a série convirja, temos que .
Resposta
A representação em série de potências para a função é: