Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar as curvas integrais do campo vetorial
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com equações diferenciais. Para achar as curvas integrais, precisamos encontrar uma função que descreva a trajetória cuja inclinação em cada ponto é dada pelo campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o campo vetorial
. Em termos de coordenadas, isso significa que a componente
da inclinação é
e a componente
é
.
Para encontrar a curva integral, usamos a relação entre as componentes do campo vetorial e a derivada da função que descreve a curva. A inclinação da curva é dada por
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso campo vetorial:
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos dividir
por
e
por
:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar a equação para agrupar termos de
de um lado e
do outro:
Para simplificar a fração no lado esquerdo, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Passo 6
Resolvendo a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição
, então
. Ajustando a integral:
No lado direito, a integral de
é simplesmente
.
Passo 7
Igualando as duas integrais e reorganizando, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
ainda é uma constante arbitrária.
Resposta
As curvas integrais do campo vetorial dado são descritas pela equação:
Onde
é uma constante arbitrária.