Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
y i + (y^2 + 1) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar as curvas integrais do campo vetorial . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com equações diferenciais. Para achar as curvas integrais, precisamos encontrar uma função que descreva a trajetória cuja inclinação em cada ponto é dada pelo campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o campo vetorial . Em termos de coordenadas, isso significa que a componente da inclinação é e a componente é .
Para encontrar a curva integral, usamos a relação entre as componentes do campo vetorial e a derivada da função que descreve a curva. A inclinação da curva é dada por .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso campo vetorial:
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos dividir por e por :

Passo 4

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reorganizar a equação para agrupar termos de de um lado e do outro:
Para simplificar a fração no lado esquerdo, multiplicamos o numerador e o denominador por :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:

Passo 6

Resolvendo a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição , então . Ajustando a integral:
No lado direito, a integral de é simplesmente .

Passo 7

Igualando as duas integrais e reorganizando, temos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde ainda é uma constante arbitrária.

Resposta

As curvas integrais do campo vetorial dado são descritas pela equação:
Onde é uma constante arbitrária.

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