Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
e também descobrir para quais valores de
essa série funciona direitinho, ou seja, tem intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de Taylor e propriedades de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para a função
. Sabemos que:
Essa série é conhecida e ela converge quando o valor absoluto de
é menor que 1. Isso vai ser super útil para a gente depois!
Passo 3
Agora, queremos multiplicar essa série pela função
para obter
. Vamos fazer isso passo a passo:
Simplificando, a gente fica com:
Passo 4
Para deixar a série mais clara, a gente pode ajustar o índice da soma. Vamos trocar
por
:
Mas pra facilitar, vamos voltar ao índice original e manter assim:
Assim, já temos a representação em série de potências para
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série original para
converge quando
. Como a gente multiplicou por
, isso não altera o intervalo de convergência. Portanto, o intervalo continua sendo:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é: