Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = x ln(1+x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e também descobrir para quais valores de essa série funciona direitinho, ou seja, tem intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de Taylor e propriedades de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para a função . Sabemos que:
Essa série é conhecida e ela converge quando o valor absoluto de é menor que 1. Isso vai ser super útil para a gente depois!

Passo 3

Agora, queremos multiplicar essa série pela função para obter . Vamos fazer isso passo a passo:
Simplificando, a gente fica com:

Passo 4

Para deixar a série mais clara, a gente pode ajustar o índice da soma. Vamos trocar por :
Mas pra facilitar, vamos voltar ao índice original e manter assim:
Assim, já temos a representação em série de potências para .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série original para converge quando . Como a gente multiplicou por , isso não altera o intervalo de convergência. Portanto, o intervalo continua sendo:

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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