Seja
o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
es planos coordenados. Calcule
usando coordenadas retangulares;
Passo 1
Beleza, então temos que resolver a integral tripla
, onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas retangulares (ou cartesianas). Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração para
,
e
, e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas
,
,
são maiores ou iguais a zero. A equação da esfera é
, então para cada valor de
e
,
varia de
até
.
Passo 3
Para definir os limites de
, fixando
, observe que para um valor específico de
,
varia de
até
, já que
também deve ser não negativo. E
varia de
até
, pois
implica
.
Passo 4
Então, nossos limites de integração ficam assim:
-
vai de a ; - Para cada
, vai de a ; - Para cada par
, vai de a .
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral tripla com esses limites:
Passo 6
Começamos integrando em relação a
. A integral de
em relação a
de
a
é:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral dupla:
Podemos tirar o
para fora da integral:
Passo 8
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo em relação a
:
Passo 10
Substituindo os limites de
de
a
:
Passo 11
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 12
Agora, somamos todos os termos:
Passo 13
Portanto, a integral dupla agora é:
Vamos tirar o
e integrar termo a termo:
Passo 14
Calculando cada integral:
Passo 15
Substituindo os limites de
de
a
:
Passo 16
Agora, somamos esses resultados:
E multiplicamos pelo
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.