Seja G o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 es planos coordenados. Calcule
integral triplaG x y z d V
usando coordenadas retangulares;

Passo 1

Beleza, então temos que resolver a integral tripla integral triplaG x y z , dV, onde G é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e pelos planos coordenados. Isso significa que estamos trabalhando com coordenadas retangulares (ou cartesianas). Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração para x, y e z, e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas x, y, z são maiores ou iguais a zero. A equação da esfera é x^2+y^2+z^2=4, então para cada valor de x e y, z varia de 0 até raiz4 - x^2 - y^2.

Passo 3

Para definir os limites de y, fixando x, observe que para um valor específico de x, y varia de 0 até raiz4 - x^2, já que z também deve ser não negativo. E x varia de 0 até 2, pois x^2 <= 4 implica x <= 2.

Passo 4

Então, nossos limites de integração ficam assim:
  • x vai de 0 a 2;
  • Para cada x, y vai de 0 a raiz4 - x^2;
  • Para cada par (x, y), z vai de 0 a raiz4 - x^2 - y^2.

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral tripla com esses limites:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^raiz4 - x^2 - y^2 x y z , dz , dy , dx

Passo 6

Começamos integrando em relação a z. A integral de x y z em relação a z de 0 a raiz4 - x^2 - y^2 é:
x y [ z^22 ]0^raiz4 - x^2 - y^2 = x y cdot (4 - x^2 - y^2)2

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral dupla:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 x y (4 - x^2 - y^2)2 , dy , dx
Podemos tirar o 12 para fora da integral:
12 integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 x y (4 - x^2 - y^2) , dy , dx

Passo 8

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x y (4 - x^2 - y^2) = 4 x y - x^3 y - x y^3
Então, a integral fica:
12 integral0^2 ( integral0^raiz4 - x^2 (4 x y - x^3 y - x y^3) , dy ) dx

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo em relação a y:
  1. integral 4 x y , dy = 4 x cdot y^22 = 2 x y^2
  2. integral -x^3 y , dy = -x^3 cdot y^22 = -x^3 y^22
  3. integral -x y^3 , dy = -x cdot y^44 = -x y^44

Passo 10

Substituindo os limites de y de 0 a raiz4 - x^2:
  1. 2 x (raiz4 - x^2)^2 = 2 x (4 - x^2)
  2. -x^3 (raiz4 - x^2)^22 = -x^3 (4 - x^2)2
  3. -x (raiz4 - x^2)^44 = -x (4 - x^2)^24

Passo 11

Somando tudo:
2 x (4 - x^2) - x^3 (4 - x^2)2 - x (4 - x^2)^24
Simplificando:
2x(4 - x^2) = 8x - 2x^3
-x^3(4 - x^2)2 = -2x^3 + x^52
-x(4 - x^2)^24 = -x(16 - 8x^2 + x^4)4 = -4x + 2x^3 - x^54

Passo 12

Agora, somamos todos os termos:
(8x - 2x^3) + (-2x^3 + x^52) + (-4x + 2x^3 - x^54) = 4x - 2x^3 + x^54

Passo 13

Portanto, a integral dupla agora é:
12 integral0^2 (4x - 2x^3 + x^54) dx
Vamos tirar o 12 e integrar termo a termo:
12 [ integral0^2 4x , dx - integral0^2 2x^3 , dx + integral0^2 x^54 , dx ]

Passo 14

Calculando cada integral:
  1. integral 4x , dx = 2x^2
  2. integral 2x^3 , dx = 2x^44 = x^42
  3. integral x^54 , dx = x^624

Passo 15

Substituindo os limites de x de 0 a 2:
  1. 2(2)^2 - 2(0)^2 = 8
  2. (2)^42 - (0)^42 = 162 = 8
  3. (2)^624 - (0)^624 = 6424 = 83

Passo 16

Agora, somamos esses resultados:
8 - 8 + 83 = 83
E multiplicamos pelo 12:
12 cdot 83 = 43

Resposta

O valor da integral tripla é 43.

Exercícios relacionados