Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de representação em série de potências e descobrir o intervalo de convergência dessa série. A função que vamos analisar é
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na função dentro da integral:
. Sabemos que uma série geométrica tem a forma
quando
. Aqui, podemos identificar
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da série geométrica na nossa função, temos:
Essa é a representação em série de potências da função dentro da integral.
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série termo a termo para encontrar
:
Passo 5
Integrando cada termo da série, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, podemos escrever:
Passo 6
Para determinar o intervalo de convergência, vamos lembrar que a série geométrica original
converge quando
, ou seja,
. Como a integração e a multiplicação por
não alteram o intervalo de convergência, nosso intervalo de convergência permanece
.
Resposta
A representação em série de potências da função é:
E o intervalo de convergência é
.