Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=integral x1-x^8 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de representação em série de potências e descobrir o intervalo de convergência dessa série. A função que vamos analisar é . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries geométricas e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função dentro da integral: . Sabemos que uma série geométrica tem a forma quando . Aqui, podemos identificar .

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica na nossa função, temos:
x1 - x^8 = x cdot 11 - x^8 = x cdot sumn=0^infty x^8n = sumn=0^infty x^8n + 1
Essa é a representação em série de potências da função dentro da integral.

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo para encontrar f(x) = integral x1 - x^8 , dx = integral sumn=0^infty x^8n + 1 , dx = sumn=0^infty integral x^8n + 1 , dx :

Passo 5

Integrando cada termo da série, obtemos:
integral x^8n + 1 , dx = x^8n + 28n + 2 + C
Onde f(x) = sumn=0^infty x^8n + 28n + 2 + C é a constante de integração. Para simplificar, podemos escrever:

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência, vamos lembrar que a série geométrica original converge quando , ou seja, . Como a integração e a multiplicação por não alteram o intervalo de convergência, nosso intervalo de convergência permanece .

Resposta

A representação em série de potências da função é:
f(x) = sumn=0^infty x^8n + 28n + 2 + C
E o intervalo de convergência é .

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