Seja G o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 es planos coordenados. Calcule
integral triplaG x y z d V
usando coordenadas cilíndricas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta. Isso vai ajudar a simplificar a descrição do sólido e a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa x = r cos theta, y = r sin theta, z = z (a distância do ponto à origem no plano dV = r , dr , dtheta , dz ), (o ângulo que o raio faz com o eixo ) e (a mesma coordenada das coordenadas cartesianas). As relações para converter de cartesianas para cilíndricas são:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar, x y z = (r cos theta)(r sin theta)(z) = r^2 cos theta sin theta , z , em coordenadas cilíndricas:
integral triplaG r^2 cos theta sin theta , z cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaG r^3 cos theta sin theta , z , dr , dtheta , dz
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, os ângulos e coordenadas variam entre:
0 <= theta <= pi2, 0 <= r <= 2, 0 <= z <= raiz4 - r^2
Aqui, a expressão vem da equação da esfera , que em coordenadas cilíndricas é .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral com esses limites:
integral0^pi2 integral0^2 integral0^raiz4 - r^2 r^3 cos theta sin theta , z , dz , dr , dtheta
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a integral0^raiz4 - r^2 z , dz = [ z^22 ]0^raiz4 - r^2 = (raiz4 - r^2)^22 = 4 - r^22 = 2 - r^22 :
integral0^pi2 integral0^2 r^3 cos theta sin theta (2 - r^22) dr , dtheta
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
r^3 cos theta sin theta (2 - r^22) = 2 r^3 cos theta sin theta - r^52 cos theta sin theta
Agora, separamos a integral em duas partes:
2 cos theta sin theta integral0^2 r^3 , dr - cos theta sin theta2 integral0^2 r^5 , dr

Passo 8

Calculando as integrais em integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 = 4 :
integral0^2 r^5 , dr = [ r^66 ]0^2 = 646 = 323
2 cos theta sin theta cdot 4 - cos theta sin theta2 cdot 323 = 8 cos theta sin theta - 163 cos theta sin theta = (8 - 163) cos theta sin theta = 83 cos theta sin theta
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi2 83 cos theta sin theta , dtheta = 83 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta :
83 [ 12 sin^2 theta ]0^pi2 = 83 cdot 12 ( sin^2 pi2 - sin^2 0 ) = 43 (1 - 0) = 43
Sabemos que , então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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