Seja
o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
es planos coordenados. Calcule
usando coordenadas cilíndricas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta. Isso vai ajudar a simplificar a descrição do sólido e a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa
(a distância do ponto à origem no plano
),
(o ângulo que o raio faz com o eixo
) e
(a mesma coordenada
das coordenadas cartesianas). As relações para converter de cartesianas para cilíndricas são:
E o volume diferencial
em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar,
, em coordenadas cilíndricas:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, os ângulos e coordenadas variam entre:
Aqui, a expressão
vem da equação da esfera
, que em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral com esses limites:
Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, separamos a integral em duas partes:
Passo 8
Calculando as integrais em
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.