Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar as curvas integrais do campo vetorial
. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e suas curvas integrais, que são caminhos que seguem a direção do campo em cada ponto. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma curva integral para esse campo vetorial. Uma curva integral é uma curva
cuja derivada em cada ponto coincide com o vetor do campo naquele ponto. Ou seja, se nosso campo é
, então a relação entre as derivadas de
e
deve seguir essa proporção.
Passo 3
Vamos estabelecer a relação entre
e os componentes do campo vetorial. A derivada
representa a inclinação da curva em cada ponto, e essa inclinação deve ser igual à razão dos componentes do campo vetorial. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos:
Essa é uma equação diferencial separável, onde conseguimos isolar
de um lado e
do outro.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 6
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração que representa diferentes curvas integrais para diferentes valores de
.
Passo 7
Para deixar a expressão de forma mais clara, podemos escrever a solução geral das curvas integrais:
Isso significa que cada curva integral é definida por essa equação, variando conforme o valor de
.
Resposta
As curvas integrais do campo vetorial
são dadas por:
Onde
é uma constante real.