Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
(2y, 3x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar as curvas integrais do campo vetorial . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e suas curvas integrais, que são caminhos que seguem a direção do campo em cada ponto. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma curva integral para esse campo vetorial. Uma curva integral é uma curva cuja derivada em cada ponto coincide com o vetor do campo naquele ponto. Ou seja, se nosso campo é , então a relação entre as derivadas de e deve seguir essa proporção.

Passo 3

Vamos estabelecer a relação entre e os componentes do campo vetorial. A derivada representa a inclinação da curva em cada ponto, e essa inclinação deve ser igual à razão dos componentes do campo vetorial. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados por e por , obtemos:
Essa é uma equação diferencial separável, onde conseguimos isolar de um lado e do outro.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:

Passo 6

Após integrar, temos:
Onde é a constante de integração que representa diferentes curvas integrais para diferentes valores de .

Passo 7

Para deixar a expressão de forma mais clara, podemos escrever a solução geral das curvas integrais:
Isso significa que cada curva integral é definida por essa equação, variando conforme o valor de .

Resposta

As curvas integrais do campo vetorial são dadas por:
Onde é uma constante real.

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