Seja F(x, y) = (x+y) i + (4x+y) j um campo vetorial.
Mostra que r(t) = (a * e^(3t) + b * e^(-t)) * i + (2 * a * e^(3t) - 2 * b * e^(-t)) * j é a curva do fluxo F ( a, b são constantes reais).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por e precisamos mostrar que a curva é uma curva de fluxo desse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de vetores e como elas se relacionam com campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva em relação a . Isso nos dará o vetor velocidade da curva, que deve ser igual ao campo vetorial avaliado em .
A derivada de é:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o campo vetorial na curva . Isso significa substituir e de pelos componentes de .
Dado , temos:
Substituindo em :
Calculando:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos comparar com :
Vemos que , ou seja, a derivada da curva é igual ao campo vetorial avaliado na curva.

Resposta

Portanto, é, de fato, uma curva de fluxo do campo vetorial .

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