Seja
um campo vetorial.
Mostra que
é a curva do fluxo
(
são constantes reais).
Mostra que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
e precisamos mostrar que a curva
é uma curva de fluxo desse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de vetores e como elas se relacionam com campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
em relação a
. Isso nos dará o vetor velocidade da curva, que deve ser igual ao campo vetorial
avaliado em
.
A derivada de
é:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
na curva
. Isso significa substituir
e
de
pelos componentes de
.
Dado
, temos:
Substituindo em
:
Calculando:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
:
Vemos que
, ou seja, a derivada da curva é igual ao campo vetorial avaliado na curva.
Resposta
Portanto,
é, de fato, uma curva de fluxo do campo vetorial
.