Divida as séries de potências para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, dividindo as séries de potências de
por
, o resultado fica
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e como dividir uma série por outra. Vamos precisar conhecer as expansões em série de
e de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em série de potências. A série de
é dada por:
Essa é uma série infinita onde cada termo é
para
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
em série de potências. A série de
é bem conhecida:
Aqui, cada termo é
para
.
Passo 4
Vamos agora dividir a série de
pela série de
. Isso significa encontrar uma nova série
tal que:
Para encontrar
, vamos multiplicar série por série e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de
. Vamos calcular os primeiros termos para ver o padrão.
Passo 5
Multiplicando as séries:
Vamos assumir que
e encontrar os coeficientes
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Resposta
Depois de dividir as séries de potências, temos: