Divida as séries de potências para mostrar que
ln(1-x)/e^x = -x + 1/2 x^2 - 1/3 x^3 + ...

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, dividindo as séries de potências de por , o resultado fica . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e como dividir uma série por outra. Vamos precisar conhecer as expansões em série de e de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir em série de potências. A série de é dada por:
Essa é uma série infinita onde cada termo é para .

Passo 3

Agora, vamos expandir em série de potências. A série de é bem conhecida:
Aqui, cada termo é para .

Passo 4

Vamos agora dividir a série de pela série de . Isso significa encontrar uma nova série tal que:
Para encontrar , vamos multiplicar série por série e igualar os coeficientes dos mesmos poderes de . Vamos calcular os primeiros termos para ver o padrão.

Passo 5

Multiplicando as séries:
Vamos assumir que e encontrar os coeficientes :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Resposta

Depois de dividir as séries de potências, temos:

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