Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
(1 / y, 2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as curvas integrais do campo vetorial . Isso significa que queremos descobrir quais curvas no plano seguem exatamente a direção desse campo em cada ponto. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Uma curva integral de um campo vetorial é aquela cuja tangente em cada ponto é exatamente o vetor do campo nesse ponto. Matemáticamente, se a curva é , então suas derivadas e devem ser iguais aos componentes do campo vetorial.

Passo 3

Vamos escrever isso de forma mais concreta. Dados os componentes do campo vetorial , temos:
Agora, vamos relacionar essas duas equações para eliminar o parâmetro e encontrar uma relação direta entre e .

Passo 4

Dividindo as duas equações, obtemos:
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona e :

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Podemos rearranjá-la para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.

Passo 6

Integrando, temos:
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la para :

Resposta

As curvas integrais do campo vetorial são da forma , onde é uma constante.

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