Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as curvas integrais do campo vetorial
. Isso significa que queremos descobrir quais curvas no plano
seguem exatamente a direção desse campo em cada ponto. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Uma curva integral de um campo vetorial é aquela cuja tangente em cada ponto é exatamente o vetor do campo nesse ponto. Matemáticamente, se a curva é
, então suas derivadas
e
devem ser iguais aos componentes do campo vetorial.
Passo 3
Vamos escrever isso de forma mais concreta. Dados os componentes do campo vetorial
, temos:
Agora, vamos relacionar essas duas equações para eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 4
Dividindo as duas equações, obtemos:
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
e
:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Podemos rearranjá-la para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 6
Integrando, temos:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la para
:
Resposta
As curvas integrais do campo vetorial são da forma
, onde
é uma constante.