Ache curvas integrais dos seguintes campos vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as curvas integrais de um campo vetorial específico, que é
. Isso significa que vamos determinar as trajetórias que um ponto seguiria nesse campo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo diferencial, principalmente equações diferenciais que descrevem essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas integrais. Elas são soluções de equações diferenciais que descrevem como um ponto se move em um campo vetorial. Nosso campo vetorial é
. Para encontrar as curvas integrais, precisamos relacionar as derivadas das coordenadas
e
.
Passo 3
A relação que define a curva integral é dada por:
onde
e
são as componentes do campo vetorial
. No nosso caso,
e
, então temos:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
em função de
ou vice-versa. Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos inverter a derivada usando a regra:
Agora, temos uma equação mais manejável para resolver.
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados por
para separar as variáveis:
Rearranjando, temos:
Isso nos leva a uma equação diferencial separável, onde podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
A integral do lado direito requer integração por partes. Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na equação original:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
onde
ainda é uma constante de integração.
Resposta
As curvas integrais do campo vetorial
são descritas implicitamente por:
onde
é uma constante que determina cada curva específica.